Se si iscrive in un cerchio un pentagono equilatero, il quadrato del lato del pentagono è uguale alla somma dei quadrati dei lati dell'esagono e del decagono regolari che siano inscritti nello stesso cerchio.
Di questa proposizione Euclide dà una lunga spiegazione geometrica, ma qui mi limito a una verifica ottenibile conoscendo la lunghezza dei lati e applicando il Teorema di Pitagora. Ammesso che il cerchio in cui si inscrivono i poligoni abbia raggio unitario, le formule che esprimono le lunghezze del lato L5 del Pentagono, L6 dell'Esagono e L10 del Decagono, sono le seguenti:
Allora:
Quindi dato che la somma dei quadrati dei lati dell'esagono e del decagono dà il quadrato del lato del pentagono, ne consegue che il lato del pentagono è ipotenusa di un triangolo rettangolo i cui cateti sono i lati dell'esagono e del decagono.
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