Euclide: Il Quinto Postulato

Sommario:

+ Elementi di Euclide: Riga e Compasso
+ Euclide vs. Hilbert: Punti, Linee e Superfici
– Euclide: il Quinto Postulato
      Cenni storici
      Tre ipotesi
      Tempi moderni
      Dunque?
+ Elementi di Euclide: Costruzioni elementari

In questo capitolo mi occupo delle idee che si sono succedute nei secoli a proposito del Quinto Postulato di Euclide, a partire dai (vani) tentativi per dimostrarlo, all'investigazione di ciò che sarebbe accaduto provando a negarlo, fino alla creazione di quelle che vengono chiamate Geometrie non Euclidee (delle quali fornirò qualche accenno). Ma prima di cominciare, è bene ripetere il testo di Euclide:

Se una retta (c nel disegno sotto) taglia altre due rette (a e b) determinando dallo stesso lato angoli interni (indicati in rosso) la cui somma è minore di quella di due angoli retti, prolungando le due rette, esse si incontreranno dalla parte dove la somma dei due angoli è minore di due retti.

Cenni storici

Fra tutte le Definizioni, i Postulati e le Nozioni Comuni di Euclide, questo Quinto Postulato è di gran lunga il più complesso: il suo enunciato infatti sembrerebbe più adatto a un Teorema (o Proposizione) che di un Assioma; ma se fosse un Teorema, dovrebbe poter essere "dimostrato": e su questo i matematici di tutti i tempi si sono accaniti con tutte le loro forze. Euclide stesso avrebbe preferito poterlo ricavare dagli altri postulati; ma non riuscendoci, e avendo bisogno di questa "verità" per dimostrare alcuni dei teoremi che costituiscono i suoi Elementi, decise (provvisoriamente?) di dargli il crisma di "postulato", cioè di verità assoluta.

Nel corso dei secoli i matematici (greci, arabi, rinascimentali) si sono sempre occupati di questo postulato, in qualche caso sostituendolo con altri (anche se si dimostra che queste nuove formulazioni sono sempre equivalenti a quella di Euclide, cioè consentono tutte di giungere alle stesse conclusioni). Ecco la prima, che ci ricorda la faccenda delle rette parallele tagliate da una trasversale che abbiamo studiato a scuola:

Date due rette parallele tagliate da una trasversale, la somma dei due angoli coniugati interni (indicati in rosso nel disegno sotto) è pari ad un angolo piatto.

Ma questo enunciato coincide con la Proposizione 29 del libro I degli Elementi di Euclide: in effetti, Euclide dimostra la Proposizione 29 a partire dal suo Quinto Postulato, mentre altri matematici preferiscono dimostrare il Quinto Postulato partendo dalla Proposizione 29, semplicemente scambiando i ruoli fra il Postulato e il Teorema.

A proposito: abbiamo appena visto comparire il termine "parallela". Per i discorsi che seguono, ci atterremo alla seguente definizione:

Parallele: due rette nel piano che non si intersecano in nessun punto.

La formulazione forse definitiva del quinto postulato di Euclide è dovuta allo stesso David Hilbert che ha scritto i suoi Fondamenti di Geometria. Eccola:

Data una qualsiasi retta a ed un punto P non appartenente ad essa, è possibile tracciare per P una ed una sola retta parallela (in rosso nel disegno sotto) alla retta a data.

In realtà si tratta di due affermazioni insieme: quando dice che di rette è possibile tracciarne "una", postula che questa retta esiste; quando dice "e una sola", postula che non possono essere più di una. Di queste due affermazioni, quella che ha valore di Assioma (o Postulato) è solo la seconda: la prima (di esistenza) si riesce a ricavare dagli altri suoi Assiomi. Hilbert stesso spiega la cosa nel seguente modo:

Dal punto P si tracci una linea trasversale che intersechi la retta r in qualsiasi punto A. Si costruisca un angolo in P uguale a quello formato fra la retta r e la trasversale: la retta che si ottiene sarà senz'altro parallela alla retta r data.

Se così non fosse, allora la nuova retta dovrebbe intersecare la retta r in un qualche punto: diciamo nel punto B. Si trovi allora il punto C tale che la distanza PB sia uguale ad AC, e si congiungano i punti P e B.

I due triangoli PAB e PAC sono congruenti, in quanto hanno il lato PA in comune, i lati BP e AC anch'essi congruenti, come pure sono congruenti (per costruzione) gli angoli compresi fra dette coppie di lati (PAC e APB, indicati in azzurro).

Ora gli angoli in A (indicati in verde e in azzurro) sono supplementari; e per via della congruenza fra i triangoli, gli angoli corrispondenti in P saranno anch'essi supplementari. Ma quando due angoli sono supplementari e consecutivi, determinano un angolo piatto: quindi i due segmenti BP e PC dovrebbero essere allineati, e dovrebbero fare quindi parte di un'unica linea retta. Ma è impossibile che due rette distinte si intersechino in due punti diversi, B e C!

Questa costruzione potrebbe sembrare del tutto superflua, dato che basta un'occhiata per rendersi conto che c'è qualcosa che non va. Bisogna considerare però che il punto B di "intersezione fra le parallele" potrebbe trovarsi anche a una distanza enorme dal punto A; e a questo punto una semplice occhiata non sarebbe più sufficiente.   ▲  

Tre ipotesi

Il problema del quinto postulato di Euclide può essere affrontato in un altro modo, mettendolo sotto forma di domanda:

Data una retta r ed un punto P fuori di essa, quante rette si possono tracciare che siano parallele a r e passanti per P?

Le ipotesi possibili sono tre:

[a] — una ed una sola (come nel caso descritto sopra).
[b] — nessuna.
[c] — infinite (vedi disegno sotto):



Se fosse vero che le due linee segnate di rosso sono entrambe parallele alla retta r (nel senso di non incontrarla), allora sarebbe parallela anche qualsiasi altra retta passante per P che cada all'interno della zona grigia. Nota: di fatto nel disegno sopra le linee rosse non incontrano quella nera, perché l'area visualizzata è limitata a destra e a sinistra (cioè non è infinita): la difficoltà nell'affrontare il tema delle parallele risiede proprio nel fatto che qualsiasi ragionamento in proposito deve comprendere il concetto di infinito.

L'ipotesi [a], una e una sola parallela, è ovviamente equivalente all'Assioma delle Parallele di Euclide / Hilbert. Ma le altre due? Molti hanno cercato di dimostrarne la condraddittorietà (se ci fossero riusciti avrebbero ottenuto una dimostrazione cosiddetta "per assurdo"). Ma neanche questa via ha portato ai risultati sperati.

Un personaggio notevole è Giovanni Girolamo Saccheri (1667-1733), un gesuita che insegnò filosofia, teologia e soprattutto matematica in vari collegi del suo ordine. Egli volle dimostrare per assurdo il famoso postulato, partendo dal quadrilatero che porta il suo nome:



Il quadrilatero di Saccheri ha due lati opposti a e b di uguale lunghezza, entrambi perpendicolari al lato c. Saccheri prende in esame tre ipotesi sugli altri due angoli (indicati in verde), ossia quelli opposti ai due costruiti retti:

[a] — Gli angoli sono entrambi retti (ciò equivale ad accettare il V postulato)
[b] — Gli angoli interni sono entrambi ottusi (in questo modo si nega il V postulato)
[c] — Gli angoli interni sono entrambi acuti (anche in questo modo si nega il V postulato).

Saccheri riesce a dimostrare correttamente che l'ipotesi degli angoli ottusi è falsa (più o meno con lo stesso procedimento con cui Hilbert dimostra che almeno una parallela deve esistere); per quanto riguarda invece l'ipotesi degli angoli acuti, non riuscì nell'intento: ottenne una dimostrazione che lui stesso riteneva debole, e infatti successivamente ne è stata dimostrata l'inconsistenza. Ma i suoi studi sulle conseguenze della negazione del quinto postulato lo portarono a dimostrare, contro le sue intenzioni, una serie di teoremi che appartengono a sviluppi molto più moderni, riguardanti proprio le Geometrie non Euclidee (di cui mi occupo nei prossimi capitoli).   ▲  

Tempi moderni



A cavallo fra '700 e '800 diventava più "di moda" che mai cercare la dimostrazione del quinto postulato. Carl Friedrich Gauss (1777-1855, nel ritratto), uno dei più importanti matematici di tutti i tempi, se ne era occupato a partire dai quindici anni di età (!). Nel corso degli anni era passato dalla convinzione della sua validità alla comprensione che geometrie basate sulla sua negazione potevano essere coerenti; però tenne queste considerazioni per sé stesso, senza comunicarle a nessuno. Anche perché...

... il mondo scientifico dell'epoca era sotto il potente influsso di Immanuel Kant (1724-1804) e della sua "Critica della ragion pura". In questo trattato, Kant parla della geometria come di qualcosa che esiste "a priori", cioè ha leggi proprie che non dipendono dall'esperienza, quindi immutabili e assolute. Anni prima Isaac Newton (1643-1727), nei suoi "Principa Mathematica", aveva invece scritto che la geometria era "quella parte della meccanica universale che propone e dimostra l'arte di misurare accuratissimamente", quindi scaturirebbe dall'esperienza più che essere una verità esistente a priori. Anche Gauss la pensa come Newton, ma sa benissimo che molti scienziati e soprattutto filosofi del XIX secolo avrebbero preso per pazzo chiunque sostenesse che esistono geometrie diverse da quella euclidea, proprio per via delle tesi di Kant (a quei tempi andava di moda dire che negare i postulati di Euclide era "commettere un crimine contro l'intelligenza"...). Proprio a proposito di questi signori, in relazione ai suoi studi nella geometria non euclidea, Gauss scrive in una lettera del 1829:

... non mi deciderò ancora per molto tempo a elaborare per una pubblicazione le mie molto estese ricerche sull'argomento, e ciò forse non avverrà mai durante la mia vita, perché temo le strida dei beoti, qualora volessi completamente esprimere le mie vedute…

Gauss aveva un amico ungherese, Farkas Bolyai (1775-1856), che aveva dedicato gran parte della sua vita a cercare di dimostrare il quinto postulato. Il figlio di Bolyai, János (1802-1860), si interessò anch'egli all'argomento, tant'è che il padre gli scrisse:

Per amor del cielo, ti imploro di desistere dal tentativo. Il problema della parallele è una cosa da temere ed evitare non meno delle passioni dei sensi, poiché anch'esso può rubarti tutto il tuo tempo e privarti della salute, della serenità di spirito e della felicità.

Come spesso accade, i figli non danno ascolto alle raccomandazioni dei padri; e infatti János prosegue le sue ricerche giungendo alla conclusione che il postulato non è dimostrabile e che diverse geometrie coerenti possono essere costruite sulla sua negazione. Scrisse al padre: "Dal nulla ho creato un altro, nuovo universo". Tra il 1820 e il 1823 preparò un trattato su un sistema completo di geometria non euclidea, che fu pubblicato nel 1832 come appendice ad un libro di testo di matematica del padre, con il nome "Appendice che espone in maniera assoluta la vera scienza nello spazio".

Gauss, dopo aver letto quest'appendice, scrisse all'amico Farkas dicendo: "Stimo questo giovane geometra Bolyai un genio di prim'ordine"; ma aggiunse che non avrebbe potuto lodare pubblicamente questo lavoro perché questo sarebbe equivalso a... lodare se stesso, dal momento che lui era arrivato alle stesse conclusioni da molti anni! Il povero János ci rimase malissimo, vedendo sfumare la possibilità di vedersi riconosciuto il merito di queste scoperte. Per giunta...

... negli anni 20 del XIX secolo Nikolaj Lobačevskij (1792-1856) stava compiendo studi sugli stessi argomenti. Anche lui, cercando di dimostrare il postulato delle parallele, arriva invece a costruire un'armoniosa struttura geometrica, assolutamente priva di contraddizioni; e la sua architettura risulta essere più organica e completa di quella del Bolyai. La prima pubblicazione di questi risultati da parte di Lobačevskij precedette quella di Bolyai: ecco com'è che proprio Lobačevskij è considerato il "Copernico della geometria", ovvero colui che scardinò definitivamente la "verità assoluta" della geometria euclidea... con buona pace dei kantiani!

Gauss venne a conoscenza anche dei lavori di Lobačevskij, e lo elogiò ripetutamente... ma solo in privato. Per via della sua paura delle strida dei beoti e dell'avversione di essere trascinato in sterili polemiche, omise di sponsorizzare i lavori di questi due matematici; se lo avesse fatto, le teorie di Bolyai e Lobačevskij si sarebbero diffuse molto più velocemente... insomma alla fine il riconoscimento del loro lavoro è sì arrivato, ma postumo!   ▲  

Dunque?

Dunque il Quinto Postulato di Euclide si è rivelato essere proprio... un Postulato! È un enunciato che definisce il modo in cui gli enti geometrici (punti, linee) interagiscono fra loro: la sua negazione dà luogo a mondi diversi, ma sicuramente coerenti.

Torniamo un momento alla due concezioni antitetiche di Kant e Newton riguardo alla geometria. Secondo Kant la geometria è qualcosa che esiste a priori, ed è governata da leggi immutabili e assolute; per Newton invece la geometria scaturirsce dall'esperienza. Alla fine, chi ha ragione?

Nel 1870, parlando dei principi della geometria, Hermann von Helmholtz (1821-1894) si esprime così:

Immaginiamo che esistano esseri dotati di ragione, bidimensionali, viventi e moventisi sulla superficie di uno dei nostri corpi solidi. Ammettiamo che essi non possano percepire alcunché fuori da questa superficie. Se tali esseri costruissero la loro geometria, attribuirebbero naturalmente al loro spazio due sole dimensioni. Se essi vivessero sulla superficie di una sfera, formulerebbero un sistema di postulati assolutamente diverso da quelli che potrebbero formulare esseri viventi sul piano, o da noi che viviamo in uno spazio a tre dimensioni.

Henri Poincaré (1854-1912) fa un esempio, che cerco di esprimere così: ammettiamo che il mondo sia un disco in cui la temperatura è massima al centro e diminuisca fino allo zero (assoluto) verso la periferia; se il materiale di cui è fatto il disco si dilata in maniera proporzionale alla temperatura, avremo dimensioni dilatate al centro, e ridotte a zero al bordo. Se su questo disco si muovessero esseri bidimensionali come ipotizzato da Helmholtz, e se essi variassero di temperatura a seconda dei loro spostamenti sul disco, ingrandendosi e rimpicciolendo di conseguenza, avremmo due modi diversi di vedere questo strano mondo: per noi si tratterebbe di un semplice disco; per i suoi abitanti il mondo sarebbe infinito, perché via via che si spostano verso il bordo diventano più piccoli, e questo bordo per loro si allontana sempre più.


Quest'immagine è stata ottenuta a partire dalla litografia "Limite del Cerchio III" di Maurits Cornelis Escher (1989-1972), che si è ispirato proprio al lavoro di Poincaré:



Come vediamo, ci si allontana sempre di più dalla concezione euclidea e kantiana di uno spazio esistente a priori, per definire vari tipi di spazio secondo "convenzioni" diverse a seconda delle necessità. Questo concetto è stato espresso da Poincaré: Gli assiomi della geometria non sono né giudizi sintetici né fatti sperimentali: sono convenzioni.

Per Poincaré la scelta fra tutte le convenzioni possibili è guidata da fatti sperimentali, ma resta libera ed è limitata solo dalla necessità di evitare contraddizioni. La domanda sulla verità della geometria euclidea per lui non ha senso: sarebbe come chiedersi se il sistema metrico è vero e gli antichi sistemi di misura falsi.... Insomma non è il criterio della verità che ci deve orientare: una geometria non può essere più vera di un'altra, può essere solo più comoda.

Non c'è dubbio che la geometria euclidea sia per noi la più semplice e si accordi bene con la nostra esperienza; ma per spiegare il mondo che ci circonda questa geometria non è sufficiente: gli sviluppi più clamorosi dello studio di geometrie non euclidee convergeranno in una teoria fondamentale come la Relatività generale di Einstein!

La perdita di "intuitività" della geometria in un certo senso va di pare passo con la sua "assiomatizzazione": i fondamenti della Geometria di Hilbert iniziano con una frase di Kant:

Ogni conoscenza umana parte da intuizioni, procede attraverso concetti e culmina in idee.

che però Hilbert ribalta completamente. I risultati della geometria del XIX secolo, a partire dalla crisi della geometria non euclidea, impongono infatti di abbandonare il livello empirico-intuitivo tipico della geometria classica: punti, rette e piani sono semplicemente elementi di insiemi dati; a tale proposito Hilbert dirà che, al posto di punti, rette e piani, si potrebbe parlare di bicchieri, calici e boccali di birra...   ▲  

Euclide vs. Hilbert: Punti, Linee e Superfici

Sommario:

+ Elementi di Euclide: Riga e Compasso
– Euclide vs. Hilbert: Punti, Linee e Superfici
      Hilbert: i Fondamenti della Geometria
      Non solo Postulati: le Nozioni Comuni
      Assiomi di Congruenza
      Incongruenze?
      Il nocciolo della questione
      Euclide: la coerenza logica degli Elementi
      Euclide: la Nozione Comune 8 del Libro I
+ Euclide: il Quinto Postulato
+ Elementi di Euclide: Costruzioni elementari

Definizioni

Nel capitolo precedente abbiamo visto alcune Definizioni e Postulati, presenti nel Libro I degli Elementi di Euclide, che specificano il modo d’uso degli strumenti con cui viene identificata la Geometria Classica: la Riga e il Compasso (anche se in realtà Euclide non nomina mai questi strumenti meccanici, dato che si limita a parlare di Linee e di Cerchi).

Torniamo ancora su alcune di queste Definizioni:

[d. 1] — Un punto è ciò che è privo di parti.

[d. 4] — La retta è quella linea che giace sui suoi punti in modo uniforme.

[d. 7] — Superficie piana è quella che giace ugualmente rispetto alle sue rette.

Abbiamo già sottolineato al capitolo precedente come queste non siano definizioni facilmente comprensibili. Certo, sono state scritte più di duemila anni fa: proviamo allora a vedere come se la cavano i matematici moderni.

Ebbene, anche la Geometria moderna parte da alcune definizioni, o Concetti Primitivi; ma di questi, non viene data nessuna definizione. Infatti se definire significa costruire un nuovo concetto a partire da concetti precedenti già definiti, il continuo tornare all’indietro verso concetti che siano precursori di ciò che vogliamo definire dovrà prima o poi arrestarsi da qualche parte, ovvero su qualcosa che non potrà più essere a sua volta definito.

I matematici moderni quindi non definiscono gli enti geometrici primitivi su cui vanno a lavorare, ma definiscono il loro funzionamento attraverso alcuni postulati, o assiomi, che li collegano fra loro. A proposito, prima di andare avanti, sarà forse meglio richiamare il significato delle seguenti parole:

Definizione — spiegazione delle qualità essenziali di qualcosa.

Postulato — enunciato che, pur non essendo dimostrabile, è considerato vero.

Nozione Comune — verità considerata evidente per se stessa, ovvero che non ha bisogno di dimostrazione.

Assioma — termine usato per definire sia i Postulati che le Nozioni Comuni. Come vedremo, la distinzione di Euclide fra Postulati e Nozioni Comuni è stata abbandonata dai matematici moderni, che parlano semplicemente di Assiomi.

Proposizione o Teorema — Risultato matematico dimostrabile sulla base di altre proposizioni precedentemente già dimostrate o assunte come vere.

Nota: In matematica, quando si ha la trattazione di un argomento che si basa su un insieme di Assiomi, al quale fanno seguito tutti i teoremi che ne derivano, si parla di Teoria Assiomatica.   ▲  

Hilbert: i Fondamenti della Geometria



David Hilbert (1862 - 1943), nei suoi fondamentali "Fondamenti di Geometria" del 1899 (scusate il bisticcio!), inizia infatti così:

Consideriamo tre generi di oggetti. Gli oggetti del primo genere saranno chiamati Punti, [...] quelli del secondo Linee Rette, [...] quelli del terzo Superfici Piane [...]

Dobbiamo pensare a questi Punti, Linee Rette e Superfici Piane come a oggetti che hanno certe relazioni reciproche, che indichiamo con parole come "Situato", "Compreso", "Fra", "Parallelo" [...] La completa ed esatta descrizione di queste relazioni derivano dagli Assiomi della Geometria [...] che hanno il compito di definire esattamente ciò che altrimenti sarebbero solo delle cognizioni intuitive.   ▲  

Non solo Postulati: le Nozioni Comuni

Negli Elementi di Euclide, oltre all’elenco dei Postulati, compare una serie di Nozioni Comuni, come per esempio:

[n.c. 1] — Cose che sono uguali ad una stessa cosa sono uguali anche fra loro

[n.c. 8] — Il tutto è maggiore della parte.

A un’occhiata distratta potrebbero essere prese come cose un po’ scontate, ma non lo sono affatto: vedremo ad esempio che la Nozione Comune 1 compare anche fra gli Assiomi di Hilbert (per quanto riguarda invece la numero 8, vedere qualche considerazione in fondo a questa pagina).

In effetti la critica moderna tende a considerare i Postulati e le Nozioni Comuni di Euclide come fossero un unico elenco (di Assiomi, come accennato all'inizio), senza soffermarsi troppo sulle ragioni per cui sono state suddivise in due elenchi diversi. Piuttosto, i problemi su cui i matematici si soffermano (da sempre), e che sono molto più importanti, sono le seguenti:

— Sono tali Assiomi sempre coerenti, o capita che si contraddicono fra loro?

— Sono completi, ovvero non è che magari ne manca qualcuno?

— Sono indipendenti fra loro, ovvero non sarà che qualcuno di essi possa essere ricavato a partire dagli altri?

Nei suoi "Fondamenti di Geometria" Hilbert elenca ventuno Assiomi (quindi in numero maggiore rispetto ai cinque Postulati e alle otto Nozioni Comuni di Euclide). Sono divisi in vari gruppi: Assiomi di Collegamento (relazioni dei punti rispetto alle linee, dei punti e delle linee rispetto ai piani, ecc.); di Ordinamento (relazioni fra i punti di una stessa retta o di uno stesso piano); di Congruenza (criteri di uguaglianza fra segmenti, angoli, ecc.); di Continuità (che per ora non prenderemo in considerazione), e infine l’Assioma delle parallele che, pur se espresso in modo diverso dal famoso Postulato Euclideo delle parallele, definisce lo stesso concetto.

Gli Assiomi di Hilbert sono stati dimostrati essere coerenti, completi e indipendenti: ormai non ci si devono più aspettare sorprese di rilievo nel pensiero geometrico. Interessante è piuttosto confrontare gli Assiomi di Hilbert con quelli di Euclide (ricordo che ci sono più di duemila anni di differenza).

Per esempio, il primo Assioma di Hilbert e il primo Postulato di Euclide sembrano coincidere:

[Euclide, Postulato 1] — Tra due punti qualsiasi è possibile tracciare una ed una sola linea retta.

[Hilbert, Assioma I, 1] — Due punti distinti definiscono completamente una linea retta.

In realtà non sono uguali: per Euclide i due punti sono gli estremi di un segmento, mentre per Hilbert ciò che viene definito è una retta illimitata (o infinita). Infatti le cose proseguono così:

[Euclide, Postulato 2] — Si può prolungare un segmento oltre i due punti indefinitamente.

[Hilbert, Assioma I, 2] — Ogni coppia di punti di una retta individua tale retta.

Già da queste poche righe si intuisce che si tratti di questioni molto sottili, quasi filosofiche. Non voglio ora scrivere qui tutto ciò che ci sarebbe da dire in proposito; mi sembra però molto utile soffermarsi su un gruppo specifico di Assiomi:   ▲  

Assiomi di Congruenza

Ovvero: sui criteri di uguaglianza. Iniziamo da Euclide, che dice:

[n.c. 7] — Cose che coincidono fra loro sono fra loro uguali

Hilbert lo sostituisce con due Assiomi:

[IV, 1] — Ogni segmento è congruente a se stesso

[IV, 4] — Ogni angolo è congruente a se stesso

Sembra che Hilbert si complichi la vita, impiegando due Assiomi per dire la stessa cosa che dice Euclide in uno solo, ma non è così. Infatti Euclide si riferisce genericamente a "cose" che potrebbero essere, oltre che segmenti e angoli, anche poligoni, poliedri, o qualsiasi altro oggetto geometrico. Lo scopo di Hilbert invece è quello di ridurre gli Assiomi al minimo possibile, ovvero di garantirne l'indipendenza; infatti se un Assioma, o una parte di esso, risultasse essere dimostrabile a partire dagli altri, andrebbe annoverato fra i Teoremi. Hilbert giudica invece sufficiente postulare l'auto-congruenza di segmenti e angoli, essendo effettivamente dimostrabile l'auto-congruenza di tutti gli altri oggetti geometrici. Conclusione: i due Assiomi di Hilbert postulano qualcosa di più ristretto rispetto alla singola Nozione Comune di Euclide.

Analogamente avviene per la proprietà transitiva dell’eguaglianza: alla Nozione Comune di Euclide:

[n.c. 2] — Cose che sono uguali ad una stessa cosa sono uguali anche fra loro.

Hilbert lo sostituisce con:

[IV, 2] — Se due segmenti sono congruenti a un terzo segmento, sono congruenti anche fra loro.

[IV, 5] — Se due angoli sono congruenti a un terzo angolo, sono congruenti anche fra loro.

Andiamo oltre. Nella Nozione Comune:

[n.c. 2] — Se cose uguali sono addizionate a cose uguali, le totalità sono uguali.

bisogna intendere bene a cosa si riferisce Euclide. Infatti, finché si tratti di segmenti o angoli, l’enunciato potrebbe andar bene; ma se si parla di superfici potremmo avere questi risultati:



come si vede dal disegno, unendo coppie di poligoni uguali non si ottengono sempre poligoni uguali! Infatti, dall’uso che fa Euclide di questa sua Nozione Comune si capisce che alla parola uguali non dà il significato di congruenza (ovvero di uguaglianza in tutti gli aspetti) ma di equivalenza, nel senso di uguale area complessiva.

In questo senso Hilbert è ancora più stringato che nei casi precedenti, limitandosi ai soli segmenti:

[IV, 3] — Siano AB e BC segmenti su una retta r privi di punti in comune a parte il punto B, e siano DE e EF segmenti su una retta s privi anch’essi di punti in comuniea parte il punto E. Se AB è congruente a DE, e BC è congruente a EF, allora anche AC sarà congruente a DF.   ▲  



Incongruenze?

Per completare il gruppo degli Assiomi di Congruenza di Hilbert, a quelli elencati nel paragrafo precedente bisogna aggiungerne uno:

[IV, 6] — Se per due triangoli ABC e DEF si ha che AB è congruente a DE, AC è congruente ad DF, come pure sono congruenti gli angoli BAC e EDF, allora tutto il triangolo ABC sarà congruente al triangolo DEF.

Detto in altre parole, si tratta del Primo Criterio di Congruenza dei triangoli (che dovremmo ricordare tutti, avendolo imparato alle scuole medie): quello per cui due triangoli sono congruenti se hanno congruenti due loro lati e l'angolo compreso. Lo stesso enunciato, anche se con parole diverse, compare anche negli Elementi di Euclide come Proposizione 4 del libro I:

Se due triangoli hanno due lati rispettivamente uguali a due lati, ed hanno uguali gli angoli compresi fra i lati uguali, avranno anche la base uguale alla base, il triangolo sarà uguale al triangolo, e gli angoli rimanenti del primo saranno uguali ai rispettivi angoli rimanenti del secondo.

Per questa dimostrazione (e per pochissime altre in tutti i suoi Elementi) Euclide ricorre a un sistema di "trasporto meccanico": vediamo come.

Siano dati i due triangoli ABC e DEF, in cui le coppie di lati AB e DE, e AC e DF, sono fra loro uguali (congruenti), così come uguali sono gli angoli in A e in D.



Per prima cosa Euclide sposta il triangolo ABC in modo che il vertice A cada esattamente su vertice D:



Poi, dopo aver prolungando i lati DE e DF, ruota il triangolo ABC finché il lato AC sia perfettamente allineato con DF; essendo i segmenti AC DF di uguale lunghezza, ovviamente i punti C e F vengono a coincidere (in effetti non sarebbe stato necessario allungare il segmento DF; ma dato che non si poteva dare per scontato che i punti C ed F sarebbero coincisi prima di averlo verificato, tale allungamento serviva per poter comunque procedere all’allineamento richiesto).



Infine, dato che gli angoli in A e in D sono uguali, anche il segmento AB sarà allineato al DE; ed essendo le lunghezze dei segmenti AB e DE uguali fra loro, anche i punti B ed E vengono a coincidere:



I due triangoli quindi coincidono. E qui entra in ballo la Nozione Comune numero 7 di Euclide, secondo cui cose che coincidono fra loro sono fra loro uguali: si tratta di una sottigliezza notevolissima, degna dei logici matematici moderni! Ricordo infatti che che anche Hilbert enuncia l’auto-congruenza, anche se solo di segmenti e angoli, negli Assiomi IV, 1 e IV, 2.

Il problema che forse non è stato notato finora è che questo criterio di congruenza fra triangoli per Hilbert è un Assioma, mentre per Euclide è una Proposizione, ovvero un teorema compiutamente dimostrato. Come sta la faccenda?   ▲  

Il nocciolo della questione

Ricapitoliamo il procedimento di Euclide, il quale prende due triangoli con due coppie di lati congruenti, come congruente è l’angolo compreso;



li sovrappone, e vede che tutto coincide:



Disponiamo ora i triangoli in questo modo:



Essendo congruenti gli angoli in A e i segmenti AB e AD, ed essendo il segmento AC in comune, allora tali triangoli dovrebbero essere congruenti. Proviamo però ad applicarli a una superficie non piana, ma cilindrica (vedi qui sotto a sinistra):



Nel disegno di destra i vertici dei triangoli sono congiunti "in linea d’aria", e le linee punteggiate indicano le distanze fra i vertici. Anche se non sembra (per problemi di prospettiva nella foto), le distanze fra i punti AB e AD sono uguali (dato che i relativi segmenti tagliano la superficie del cilindro con la stessa angolazione), mentre i vertici in A sono congruenti e il segmento AC è in comune: allora i due triangoli dovrebbero essere congruenti. Invece non lo sono: infatti la distanza fra B e C è molto più breve di quella fra C e D, essendo il segmento CD parallelo all’asse del cilindro, quindi perfettamente rettilineo, mentre il segmento BC è ortogonale all’asse del cilindro, quindi descrive un arco di cerchio (la cui corda, ovvero la linea punteggiata che unisce in linea d’aria i suoi estremi) non può che essere più breve dell’arco stesso.

Ma se le cose stanno così... vuol dire che né la dimostrazione di Euclide, né l'Assioma di Hilbert sono corretti! Bisogna ricordare però che Hilbert, con i suoi Assiomi non ha mai dichiarato di volersi occupare di triangoli, ma solo di quegli oggetti che ha denominato Punti, Linee Rette e Superfici Piane. Il fatto è che questo Primo Criterio di Congruenza dei triangoli è valido solo in caso di superfici piane; e con questo Assioma Hilbert non si sta occupando specificatamente di triangoli: ci sta piuttosto spiegando come funzionano le sue Superfici piane, ovvero ciò che ha denominato Oggetti del Terzo Genere, all’inizio dei suoi Fondamenti di Geometria.   ▲  

Euclide: la coerenza logica degli Elementi

Nel corso dei secoli gli Elementi di Euclide sono stati analizzati in lungo e in largo, trovandovi più di un punto critico. Per esempio, già nella costruzione di un triangolo equilatero su un segmento dato (Proposizione 1, illustrata nel capitolo precedente) Euclide utilizza il punto di intersezione fra i due cerchi costruiti con centro sulle estremità del segmento e raggio pari al segmento stesso; ma non postula (o dimostra) precedentemente che tali cerchi si incontreranno.

Problemi di coerenza sono stati trovati anche a proposito della Congruenza fra triangoli di cui abbiamo parlato sopra, proprio perché non accenna a requisiti di "indeformabilità". Per questi motivi, le prime quattro Proposizioni del libro I degli Elementi sono oggi considerati alla stregua di Postulati, per cui ne vengono ignorate le argomentazioni dimostrative. E infatti anche Hilbert relega questi enunciati fra i suoi Assiomi.

Questi problemi di logica però non inficiano minimamente la validità degli Elementi di Euclide: tutto ciò che viene dimostrato al loro interno è assolutamente rigoroso e valido; l'unico problema risiede nell'esposizione delle Definizioni, Postulati e Nozioni Comuni, che non reggono all'analisi della logica matematica moderna. Ma se al posto di questi concetti di base di Euclide usiamo gli Assiomi di Hilbert, tutto diventa assolutamente corretto e coerente, confermando la validità di un testo fondamentale e bellissimo nella storia del pensiero umano: non per niente è il testo che vanta il più alto numero di edizioni nella storia, secondo solo alla Bibbia!   ▲  

Euclide: la Nozione Comune 8 del Libro I

"Il tutto è maggiore della parte": sembra un concetto evidente, ma lo è fintanto che si parli di insiemi finiti. Cinque è maggiore di due, un angolo retto è maggiore dell'angolo interno di un triangolo equilatero.

L'affermazione cessa di essere vera quando si abbia a che fare con insiemi infiniti: per esempio, rimanendo nell'ambito della geometria, è assurdo pensare che un segmento corto "contenga" meno punti di un segmento più lungo. E in aritmetica: è assurdo pensare che i numeri pari siano meno di tutti i numeri naturali.

Per chi fosse interessato agli insiemi infiniti, e ai numeri transfiniti, basta che clicci qui.   ▲  

Euclide: Costruzioni elementari

Sommario:

+ Elementi di Euclide: Riga e Compasso
+ Euclide vs. Hilbert: Punti, Linee e Superfici
+ Euclide: il Quinto Postulato
– Elementi di Euclide: Costruzioni Elementari
      Dividere per metà un angolo dato
      Dividere un segmento in due parti uguali
      Tracciare rette perpendicolari a una retta data
      Trasportare un angolo
      ... e poi?

Costruzioni Elementari

Le costruzioni che seguono sono tutte cose che abbiamo sicuramente visto alle scuole medie, ma che probabilmente abbiamo dimenticato: personalmente le considero sufficientemente belle e interessanti da meritare un'occhiata, anche solo superficiale... giusto per guardare le figure!   ▲  

Dividere per metà un angolo dato

Siano date due rette OA e OB che si incontrano nel punto O. Per dividere in due l'angolo in O (Elementi, Libro I, Proposizione 9) occorre tracciare un arco di cerchio con centro in O e raggio arbitrario, ottenendo i punti A e B sulle rette date. Unendo questi due punti, e costruendoci sopra un triangolo equilatero si ottiene il vertice C: la retta tracciata fra i punti C e O divide l'angolo dato in due metà.

Infatti i due triangoli OAC e OBC sono congruenti in quanto hanno tutti i lati corrispondenti uguali: OA e OB lo sono per costruzione; AC e BC sono lati di uno stesso triangolo equilatero; OC è in comune. Quindi gli angoli AOC e BOC sono uguali.

Ovviamente, se lo scopo è solo di dividere l'angolo in due metà, non occorre tracciare i lati del triangolo equilatero. Ecco quindi il procedimento più semplice:

Nota: Nel procedimento classico imparato a scuola, così come nella maggioranza di quelli che si trovano in Rete, dopo aver tracciato l'arco AB non si chiede di costruire il triangolo equilatero sul segmento AB; si chiede piuttosto di trovare il punto C tracciando due archi di raggio uguale, ma con apertura del compasso scelta in modo arbitrario. Personalmente preferisco il metodo di Euclide, per due motivi:

— L'adozione di un raggio troppo corpo darebbe luogo a due archi che non si incontrano;

— Sarebbe necessario "trasportare" il compasso, puntandolo prima nel punto A e poi nel punto B, mantenendolo alla stessa apertura (cliccare qui per vedere come Euclide affronta la questione): operazione questa piuttosto delicata, dato che un uso maldestro del compasso potrebbe causare il cambiamento dell'apertura dello stesso, con conseguente perdita di precisione.

La costruzione del triangolo equilatero, come mostrato di sopra, consente di risolvere in un colpo solo entrambi i problemi: gli archi si incontreranno sicuramente, e l'apertura del compasso potrà essere verificata due volte a cavallo del suo spostamento, in modo da garantire la maggiore accuratezza possibile.

Voglio ricordare che Euclide si occupa di linee e cerchi ideali, e che le sue costruzioni sono da considerarsi assolutamente esatte. L'uso che noi facciamo di riga e compasso, per quanto accurato, ci consente solo di tracciare disegni approssimativi: ecco quindi perché è utile cercare il modo migliore di limitare le inevitabili imprecisioni.   ▲  

Dividere per metà un segmento dato

Per dividere in due parti uguali un segmento (Elementi, Libro I, Proposizione 10) occorre prima costruire un triangolo equilatero sul segmento AB dato

e poi bisecare l'angolo al vertice C del triangolo ottenuto.

I triangoli ACE e BCE sono congruenti, in quanto hanno i lati AC e BC uguali (lati di un triangolo equilatero), il lato CE in comune, e gli angoli ACE e BCE uguali; quindi anche i segmenti AE e BE sono congruenti.

Nota: anche se Euclide non lo dice esplicitamente, il segmento CE risulta essere perpendicolare al segmento AB. Infatti i due angoli AEC e BEC sono congruenti, e secondo la definizione X del Libro I degli Elementi:

Quando una retta innalzata su un'altra retta forma gli angoli adiacenti uguali fra loro, ciascuno dei due angoli uguali è retto, e la retta innalzata si chiama perpendicolare a quella su cui è innalzata.

Il procedimento esposto può essere semplificato, tenendo conto che gli archi di cerchio necessari alla costruzione del triangolo equilatero hanno lo stesso raggio che si usa per bisecare l'angolo in C. Considerando inoltre che non è necessario tracciare i lati del triangolo equilatero, il procedimento più semplice per dividere il segmento AB in due parti uguali è il seguente:

Anche in questo caso, come per la bisezione dell'angolo esposta di sopra, uso due archi di cerchio di raggio pari alla lunghezza del segmento AB. Si potrebbe in effetti utilizzare un qualsiasi altro raggio (purché di apertura sufficiente), ma valgono le stesse considerazioni già esposte.   ▲  

Tracciare rette perpendicolari a una retta data

Riunisco qui le due costruzioni che Euclide descrive nelle Proposizioni 11 e 12 del Libro I: Tracciare una retta perpendicolare ad una retta data, e passante per un punto della retta data stessa (Prop. 11), o passante per un punto esterno alla retta data (Prop. 12).

Le due costruzioni si basano sulla determinazione di due punti ausiliari sulla retta data, ed equidistanti dal punto A (sulla retta stessa) o dal punto B (esterno alla retta):

(non credo che siano necessarie ulteriori spiegazioni)   ▲  

Trasportare un angolo

La Proposizione 23 del Libro I degli Elementi chiede di "Costruire su una retta data, e con vertice in un punto di essa (D nel disegno sotto) un angolo rettilineo uguale a un angolo rettilineo dato (A)".

Nelle Proposizione 8 del Libro I Euclide ha già dimostrato il terzo criterio di congruenza di triangoli, ovvero quello per cui due triangoli sono congruenti se hanno congruenti i tre lati corrispondenti.

Il trasporto dell'angolo, come richiesto, viene semplicemente eseguito costruendo un triangolo arbitrario ABC (è sufficiente tracciare una qualsiasi linea BC che intersechi i due segmenti che definiscono l'angolo A) e poi ricopiando l'intero triangolo ABC a partire dal punto D; in questo modo gli angoli BAC e EDF saranno congruenti, ottenendo proprio ciò che era richiesto:

Questo procedimento richiede di "trasportare" la lunghezza di tre lati. Ma nessuno impedisce di costruire il triangolo ABC in modo che sia isoscele, con i lati uguali che convergono in A; in questo modo basterà trasportare due lunghezze sole:

Nota. In questa costruzione ho usato lo spostamento del compasso ad apertura costante, che non solo (come detto sopra) rischia di compromettere la precisione del disegno, ma è anche "vietato" da Euclide. Ricordo però che Euclide stesso ha già spiegato come "applicare" una distanza evitando di trasportare il compasso aperto. Chi volesse usare il metodo corretto dovrebbe procedere come segue:


ma forse, in questo caso... è meglio prendere la "scorciatoia"!   ▲  

... e poi?

Interrompo qui l'esposizione delle "costruzioni elementari", dato che quelle che seguono hanno a che fare con le parallele e con le circonferenze (argomenti troppo lunghi per poter essere inseriti in questa pagina) e di cui mi occupo nei capitoli a seguire.   ▲  

Geometria Classica

In questi capitoli vengono presentati in modo informale alcuni argomenti di geometria classica: di quella geometria cioè che riguarda le costruzioni rese possibili dal solo uso di riga e compasso, all'interno di un piano o uno spazio euclideo.

Sommario:

– Elementi di Euclide: Riga e Compasso
      Il Punto e la Retta
      Il Cerchio
      Riga e Compasso
      Applicazione di una distanza?
      Libro I, Proposizione 1
      Libro I, Proposizioni 2 e 3
      Scorciatoia!
+ Euclide vs. Hilbert: Punti, Linee e Superfici
+ Euclide: il Quinto Postulato
+ Elementi di Euclide: Costruzioni elementari

Gli Elementi

Il merito principale di Euclide (vissuto intorno al 300 a.C.) è stato di codificare in modo organico tutte le conoscenze di geometria (piana e solida), aritmetica (numeri razionali e irrazionali) e altre belle cose note nel mondo antico... insomma ha compilato l'enciclopedia di tutte conoscenze matematiche della sua epoca: stiamo parlando proprio dei suoi "Elementi". Qui ogni argomento è trattato a partire da un certo numero di definizioni e di postulati, per poi proseguire con la dimostrazione di un incredibile numero di teoremi assolutamente validi anche ai giorni nostri (la sua dimostrazione del teorema di Pitagora è di un'eleganza squisita).

I paragrafi che seguono non vogliono essere esaustivi dell'argomento, ma dare qualche spunto che possa incuriosire e possibilmente far apprezzare la grandezza dell'opera di Euclide.   ▲  

Il Punto e la retta

[d. 1] — Un punto è ciò che è privo di parti.

Credo che sia la più celebre definizione della geometria: è la prima fra quelle elencate da Euclide nei Libro Primo suoi "Elementi". Le successive tre invece sono:

[d. 2] — Una linea è una lunghezza senza larghezza.

[d. 3] — Le estremità di una linea sono punti.

[d. 4] — La retta è quella linea che giace sui suoi punti in modo uniforme.

(Se fossi uno che non ne sa niente, non so se da queste definizioni, soprattutto l'ultima, saprei immaginare cos’è una linea retta... meno male che tutti noi abbiamo almeno una volta tracciato una linea con righello e lapis!)

Ricapitolando: secondo queste definizioni, una linea non solo "non ha larghezza", ma è fatta da punti "che sono privi di parti". Questi punti sono quindi piccoli, piccolissimi, diciamo pure infinitesimali: se si potesse tracciare una linea ideale, essa risulterebbe assolutamente invisibile. Questo ci deve far riflettere sul livello di astrazione raggiunto dai geometri greci dell'antichità: le loro costruzioni sono solo ideali, in quanto le "figure" che possiamo realizzare con i mezzi grossolani di cui ci serviamo servono solo per rappresentare le cose in modo da rendercele più facilmente comprensibili.

Per quanto riguarda la retta, Euclide stabilisce anche due "postulati", ovvero enunciati che, pur non essendo dimostrati, sono considerati veri:

[p. 1] — Tra due punti qualsiasi è possibile tracciare uno ed un solo segmento.

[p. 2] — Si può prolungare un segmento oltre i due punti indefinitamente.  ▲  

Il Cerchio

Definizioni (Libro I):

[d. 15] — Dicesi cerchio una figura piana delimitata da un'unica linea tale che tutti i segmenti che terminano su di essa a partire da un medesimo punto fra quelli interni alla figura, siano uguali fra loro.

[d. 16] — Quel punto si chiama centro del cerchio.

Postulato:

[p. 3] — Dato un punto e una lunghezza, è possibile descrivere un cerchio.  ▲  

Riga e Compasso

Andiamo a scuola ci diventano subito familiari gli strumenti chiamati Riga e Compasso, che effettivamente servono per tracciare le Rette e i Cerchi definiti da Euclide. Infatti, dati due punti qualsiasi, essi possono essere congiunti con un segmento rettilineo; e si può anche proseguire il disegno prolungando a piacimento il segmento oltre i punti dati:



Per quanto riguarda il cerchio, dato un centro e uno dei punti sulla sua circonferenza, con un compasso è possibile tracciare tutti gli altri punti alla stessa distanza dal centro:



Ecco, per quanto Euclide non li nomini mai, Riga e Compasso sono i due soli strumenti ammessi nelle sue costruzioni geometriche. Detto altrimenti, sono gli strumenti soli e sufficienti che consentono la rappresentazione grafica di tutte le sue dimostrazioni!   ▲  

Applicazione di una distanza?

nelle costruzioni geometriche capita di dover riportare (o, più esattamente, "applicare") la lunghezza di un segmento a un altro segmento. E qui viene fuori un problema non da poco, in quanto la riga di Euclide NON è graduata. "Misurare" un segmento con un righello e poi riportare quella misura da un’altra parte non è certo un sistema esatto, e infatti non viene mai preso in considerazione da Euclide.

L'unica altra possibilità dunque è quella di utilizzare il compasso. Visto che, come abbiamo visto, il compasso è in grado di determinare tutti i punti equidistanti da un punto dato (centro), non è che lo si potrebbe usare anche per applicare una lunghezza, come mostrato qui sotto?



La risposta è... Nì. Nel senso che questa è una pratica usata continuamente, ma non è giustificata direttamente dai postulati di Euclide; quindi in teoria è un’operazione vietata. Dobbiamo immaginare che il compasso di Euclide abbia la particolarità di richiudersi automaticamente appena viene allontanato dal foglio: proprio come nell’animazione più sopra, quella dove viene mostrato il disegno della circonferenza.

Ora è ovvio che Euclide non si poteva arenare di fronte a questa difficoltà, infatti dedica le prime tre proposizioni del Libro Primo dei suoi Elementi proprio al superamento di quest’ostacolo.   ▲  

Libro I, Proposizione 1

Nella prima proposizione mostra come si costruisce un triangolo equilatero su un segmento dato (equilatero è quel triangolo che ha i tre lati uguali):



Come si vede dall’animazione, vengono tracciati due archi di cerchio, entrambi di raggio pari al segmento dato; ogni volta il compasso viene richiuso e riaperto: ecco che NON stiamo commettendo l’infrazione di tenere il compasso aperto fra il disegno di un arco e l’altro. Non credo che sia necessario dimostrare che le distanze AB, AC e BC sono uguali: per completare il triangolo a questo punto è sufficiente tracciare i due lati mancanti.   ▲  

Libro I, Proposizioni 2 e 3

Nelle proposizioni 2 e 3 del Libro Primo, che qui vengono unite insieme in un’unica animazione, Euclide riesce a trasportare (o, più precisamente, applicare) il segmento AB sul segmento CD:



Ecco il procedimento (più in basso l'animazione completa):



— Si traccia un segmento fra i punti A e C, e su questo segmento si costruisce il triangolo equilatero ACE; i lati AC e AE vengono prolungati adeguatamente (disegnati in viola).

— Puntando il compasso in A si riporta la lunghezza di AB in modo da determinare il punto F; il segmento EF è quindi la somma dei due segmenti EA (lato del triangolo) e AF = AB.

— Puntando il compasso in E, si riporta la lunghezza EF in modo da determinare il punto G, per cui EF = EG. Ma siccome EA = EC (lati dello stesso triangolo equilatero), CG non può che essere uguale a AF = AB.

— Puntando il compasso in C posso finalmente riportare la lunghezza CG sul segmento CD: ecco che quindi CH = AB.

Come promesso, qui sotto mostro la costruzione completa:



Ecco dimostrato come una lunghezza può essere trasportata in modo esatto, da un punto a un altro del foglio, senza trasgredire alle "regole" di Euclide. Il fatto che questa operazione sia fattibile basandosi su definizioni e postulati già presenti è il motivo per cui Euclide non ha avuto bisogno di aggiungere, fra i suoi postulati, qualcosa che affermasse la possibilità di trasportare una lunghezza.   ▲  

Scorciatoia!

Per nostra fortuna possiamo usare il procedimento che avevo dichiarato "vietato" (vedi sopra): possiamo liberamente usare quella scorciatoia per semplificarci il lavoro, ma solo dopo aver dimostrato la fattibilità di questa operazione con i metodi "prescritti".

I quali metodi prescritti sono: usare righe non graduate e compassi che si richiudono non appena allontanati dal foglio. Con l'aiuto di questi due soli strumenti Euclide è riuscito a costruire un castello incredibile... che inizieremo ad "esplorare", un po' per volta, a partire dal prossimo capitolo.   ▲  

Teorema delle Corde

Sommario:
Euclide, Elementi, Libro II, Proposizione 5
Euclide, Elementi, Libro III, Proposizione 35
Corollario

Se in un cerchio due corde si intersecano fra loro, allora il rettangolo con lati congruenti alle due parti di una corda ha la stessa area del rettangolo con lati congruenti alle due parti dell'altra. Questo teorema compare negli Elementi di Euclide, più precisamente è la Proposizione 35 del Libro III.

Per dimostrare il teorema delle corde, Euclide si basa su un'altra proposizione contenuta negli Elementi:

Proposizione 5 del Libro II        TOP ▲

Se si divide una retta in parti uguali e disuguali, il rettangolo compreso dalle parti disuguali della retta, insieme con il quadrato della parte compresa fra i punti di divisione, è uguale al quadrato della metà della retta.

In altre parole, il teorema afferma che, dato un segmento AB, tagliato in un punto arbitrario D e il cui punto medio è C, si ha

AD ּ DB + CD² = CB²

Per la dimostrazione, si costruiscano il rettangolo ADGE di lati congruenti ad AD e DB (a sinistra nell'immagine) ed il quadrato CBKH sul segmento CB (a destra). Osservando i due disegni, è facile vedere che i rettangoli ACFE e DBKJ (colorati in rosso) sono congruenti. Il rettangolo CDGF (in verde) è in comune: per completare il quadrato CBKH manca il quadrato FGJH (in blu), chiaramente congruente al quadrato costruito sul segmento compreso fra i punti di divisione C e D.


Proposizione 35 del Libro III        TOP ▲

Se in un cerchio due corde si tagliano fra loro, il rettangolo compreso dalle parti dell'una è uguale al rettangolo compreso dalle parti dell'altra.

In altre parole, se AB ed EF sono due corde di un cerchio incidenti in un punto D, la proposizione afferma che

AD ּ DB = ED ּ DF

Per la dimostrazione, inizialmente si prendano in esame la sola corda AB e si costruisca il rettangolo con lati congruenti a DB e DA = DA'.



Si traccino inoltre le seguenti linee:

— congiungente fra il centro C del cerchio e l'estremo A della corda,
— congiungente fra il centro C del cerchio e il punto D di intersezione delle corde,
— la perpendicolare dal centro C sulla corda AB, che la interseca nel punto G.

Ora, quando in un cerchio un raggio è ortogonale a una corda, la divide per metà (Elementi di Euclide, Libro III Proposizione 3): G quindi è il punto medio della corda AB. Inoltre, si possono ricavare le seguenti relazioni fra i vari segmenti e aree:

— il quadrato costruito sul segmento CA ha area uguale a quella quadrato costruito su CG più quella del quadrato costruito su AG (teorema di Pitagora):

CA² = CG² + AG²

— il quadrato costruito su CG ha area uguale a quella del quadrato costruito su CD meno l'area del quadrato costruito su DG (teorema di Pitagora):

CG² = CD² - DG²

— il quadrato costruito su AG ha area uguale al quadrato costruito su DG più l'area del rettangolo con lati DB e A'D (Elementi di Euclide, Libro II, Proposizione 5)

AG² = DG² + AD ּ DB

Inserendo le ultime due equazioni nella prima si ottiene:

CA² = CG² + AG² = CD² - DG² + DG² + AD ּ DB = CG² + AG² = CD² + AD ּ DB

da cui si ricava:

AD ּ DB = CA² - CD²

ovvero l'area del rettangolo con lati DB e A'D è uguale alla differenza fra il quadrato costruito su CA (il raggio del cerchio) e il quadrato costruito sul segmento CD (distanza fra il centro e il punto d'intersezione delle corde).


Lo stesso procedimento si può ripetere a proposito della corda EF:



ED ּ DF = CA² - CD²

Di conseguenza, i due rettangoli hanno area pari alla differenza della stessa coppia di quadrati, e quindi hanno la stessa area:

AD ּ DB = ED ּ DF


Corollario        TOP ▲

Il calcolo delle aree dei rettangoli che abbiamo visto qui sopra dà un risultato che dipende solo dal raggio del cerchio e dalla posizione del punto di intersezione delle corde. Ciò vuol dire che l'area è indipendente dalla corda scelta: nell'animazione accanto l'area blu conserva sempre la stessa grandezza al variare dell'angolo di rotazione intorno al punto D.

Pentadecagono Regolare

La costruzione del pentadecagono regolare si basa in parte sulla costruzione del pentagono, anche se non è per niente scontato che possa essere disegnato con riga e compasso: infatti è richiesta la divisione dell'angolo al centro del pentagono in tre parti; e in generale la trisezione degli angoli non è una delle operazioni possibili con con gli strumenti della geometria classica.

Per fortuna l'angolo al centro del pentadecagono è di 24 gradi (24 x 15 = 360), e può essere facilmente ottenuto per differenza degli angoli dell'esagono e del decagono (60 - 36 = 24). Euclide, nei suoi "Elementi", fa un calcolo diverso: prende un angolo piano (180°) al quale sottrae 60° (angolo al centro dell'esagono) e 72° (angolo al centro del pentagono); ciò che rimane sono 180 - 60 - 72 =48°, di cui fa la bisezione per ottenere l'angolo di 24°. Qui di seguito invece mostro il sistema che a me sembra più semplice:



Si trova il punto medio L del raggio OB. Si traccia il segmento CL sul quale, puntando il compasso in L e con raggio LO (mezzo raggio), si trova il punto M. Il segmento CM è il lato del decagono, che riportiamo sulla circonferenza in E, quindi l'angolo CÔE è di 36°.

Puntando il compasso in C si riporta la lunghezza del raggio sulla circonferenza in F, quindi l'angolo CÔF è di 60°. La differenza fra i due angoli è 24°, cioè proprio l'angolo al centro di ciascun lato del pentadecagono.

Ecco l'animazione del procedimento:

Pentagono, Esagono e Decagono

Nel libro XIII dei suoi Elementi, Euclide dimostra la seguente proposizione:

Se si iscrive in un cerchio un pentagono equilatero, il quadrato del lato del pentagono è uguale alla somma dei quadrati dei lati dell'esagono e del decagono regolari che siano inscritti nello stesso cerchio.



Di questa proposizione Euclide dà una lunga spiegazione geometrica, ma qui mi limito a una verifica ottenibile conoscendo la lunghezza dei lati e applicando il Teorema di Pitagora. Ammesso che il cerchio in cui si inscrivono i poligoni abbia raggio unitario, le formule che esprimono le lunghezze del lato L5 del Pentagono, L6 dell'Esagono e L10 del Decagono, sono le seguenti:



Allora:



Quindi dato che la somma dei quadrati dei lati dell'esagono e del decagono dà il quadrato del lato del pentagono, ne consegue che il lato del pentagono è ipotenusa di un triangolo rettangolo i cui cateti sono i lati dell'esagono e del decagono.

Diametro perpendicolare

Problema: Dato un cerchio avente il centro sulla retta AB, tracciare la retta perpendicolare alla retta AB e passante per il centro del cerchio dato. Nota: Per questa costruzione non occorre conoscere a priori il centro O del cerchio.



Sia dato il cerchio con diametro AB. Puntando il compasso in A, tracciare un arco di raggio AB; e puntando in B, un arco dello stesso raggio: i due archi si incontrano nei punti C e D. Congiungendo i punti CD, si determina il punto O: tale punto è il centro del cerchio dato, e il segmento CD è perpendicolare al diametro AB.

Infatti congiungendo i punti AC, AD, BCe BD (linee viola) è ovvio che assieme al diametro AB otteniamo due triangoli equilateri, in quanto ogni segmento è uguale al diametro del cerchio dato. Ma sono anche uguali i quattro triangoli che hanno un vertice in O: prendiamo in considerazione i triangoli di sinistra, ACO e ADO; i lati AC e AD sono uguali; il lato AO è in comune, e gli angoli in A sono entrambi di 60° in quanto vertici di triangoli equilateri. Lo stesso discorso vale per tutte le altre coppie di triangoli adiacenti.

Ora, se questi quattro triangoli sono uguali fra loro, sono uguali anche i segmenti AO e OB. Quindi il punto O, che è sul diametro del cerchio dato, ed è equidistante dalle intersezioni del cerchio con il diametro, è il centro del cerchio. Inoltre la retta CD è perpendicolare alla AB, in quanto (X definizione del libro I degli Elementi di Euclide):

"Quando una retta innalzata su un'altra retta forma gli angoli adiacenti uguali fra loro, ciascuno dei due angoli uguali è retto, e la retta innalzata si chiama perpendicolare a quella su cui è innalzata."

Ecco l'animazione del procedimento:

Euclide: il "Secondo" Teorema

Sommario:

+ Gli Elementi di Euclide
+ Euclide: Il "Primo" Teorema
– Euclide: Il "Secondo" Teorema
      Un po' di confusione?
      Elementi, Libro VI, Proposizione 8
      Geometria vs. Proporzioni

Un po' di confusione?

Così come già evidenziato a proposito del Primo Teorema, nei suoi Elementi Euclide non enuncia mai esplicitamente ciò che tradizionalmente viene indicato come suo "Secondo Teorema":

In un triangolo rettangolo, il quadrato costruito sull'altezza relativa all'ipotenusa è equivalente al rettangolo che ha per lati le proiezioni dei due cateti sull'ipotenusa".

Questo enunciato è estratto da vari teoremi, come vedremo qui di seguito.   ▲  

Elementi, Libro VI, Proposizione 8

Se in un triangolo rettangolo si conduce la perpendicolare dell'angolo retto sulla base, la stessa perpendicolare divide il triangolo in due triangoli simili e tutto quanto il triangolo e fra loro

Dato il triangolo ABC, rettangolo in B, tracciamo l'altezza BD relativa all'ipotenusa. Questa divide l'ipotenusa stessa in due segmenti che sono la proiezione dei cateti, e divide il triangolo iniziale in due più piccoli ABD e BCD.

Prendiamo in esame il triangolo iniziale ABC e quello di sinistra ABD: sono entrambi rettangoli (rispettivamente in B e in D), e hanno l'angolo α in comune; di conseguenza sono uguali anche gli angoli rimanenti (in C e in B).

Discorso analogo se si prendono in esame il triangolo iniziale ABC e quello di destra BCD: sono entrambi rettangoli (rispettivamente in B e in D), e hanno l'angolo β in comune; di conseguenza sono uguali anche gli angoli rimanenti (in A e in B).

I tre triangoli hanno quindi tutti gli angoli corrispondenti uguali fra loro e dunque, per il primo criterio di similitudine dei triangoli, sono simili fra loro. (Chiaramente Euclide nei suoi Elementi non manca di dimostrare la validità di questo criterio di similitudine).   ▲  

Geometria vs. Proporzioni




L'angolo α è in comune fra il triangolo originale ABC e il triangolo di sinistra ABD, menree l'angolo β è in comune fra il triangolo originale ABC e il triangolo di destra BCD. Tutti e tre i triangoli sono rettangoli (per definizione quello originale e per costruzione i due più piccoli): allora si può applicare il "primo criterio di similitudine dei triangoli", secondo il quale

Affinché due triangoli siano simili occorre che siano uguali tutti e tre gli angoli (in realtà ne bastano due: il terzo viene di conseguenza, grazie al fatto che la somma degli angoli interni di qualsiasi triangolo è sempre 180°). Quindi vediamo: i tre triangoli sono rettangoli (quello originale in B, gli altri in D); l'angolo α è in comune fra il triangolo originale e il triangolo di sinistra; l'angolo β è in comune fra il triangolo originale e il triangolo di destra: tutti e tre i triangoli hanno quindi gli angoli uguali.

In due triangoli simili, il rapporto fra i lati corrispondenti è costante. Si può scrivere in forma di proporzione:

AD : DB = DB : DC

oppure in forma di frazioni:

AD    DB
---- = ----
DB    DC

Moltiplicando a destra e sinistra sia per DB che per DC

AD x DB x DC    DB x DB x DC
--------------------- = ---------------------
        DB                   DC

ed eliminando i termini che compaiono sia al numeratore che al denominatore otteniamo:

AD x DC = DB x DB

Quindi:

AD x DC = DB²

Ecco che il quadrato costruito sull'altezza DB del triangolo (quindi DB²) è equivalente al rettangolo che ha per lati le proiezioni dei due cateti sull'ipotenusa (AD x DC), come volevasi dimostrare. Le aree uguali sono quelle evidenziate in azzurro nell'immagine iniziale.