Euclide: Costruzioni elementari

Sommario:

+ Elementi di Euclide: Riga e Compasso
+ Euclide vs. Hilbert: Punti, Linee e Superfici
+ Euclide: il Quinto Postulato
– Elementi di Euclide: Costruzioni Elementari
      Dividere per metà un angolo dato
      Dividere un segmento in due parti uguali
      Tracciare rette perpendicolari a una retta data
      Trasportare un angolo
      ... e poi?

Costruzioni Elementari

Le costruzioni che seguono sono tutte cose che abbiamo sicuramente visto alle scuole medie, ma che probabilmente abbiamo dimenticato: personalmente le considero sufficientemente belle e interessanti da meritare un'occhiata, anche solo superficiale... giusto per guardare le figure!   ▲  

Dividere per metà un angolo dato

Siano date due rette OA e OB che si incontrano nel punto O. Per dividere in due l'angolo in O (Elementi, Libro I, Proposizione 9) occorre tracciare un arco di cerchio con centro in O e raggio arbitrario, ottenendo i punti A e B sulle rette date. Unendo questi due punti, e costruendoci sopra un triangolo equilatero si ottiene il vertice C: la retta tracciata fra i punti C e O divide l'angolo dato in due metà.

Infatti i due triangoli OAC e OBC sono congruenti in quanto hanno tutti i lati corrispondenti uguali: OA e OB lo sono per costruzione; AC e BC sono lati di uno stesso triangolo equilatero; OC è in comune. Quindi gli angoli AOC e BOC sono uguali.

Ovviamente, se lo scopo è solo di dividere l'angolo in due metà, non occorre tracciare i lati del triangolo equilatero. Ecco quindi il procedimento più semplice:

Nota: Nel procedimento classico imparato a scuola, così come nella maggioranza di quelli che si trovano in Rete, dopo aver tracciato l'arco AB non si chiede di costruire il triangolo equilatero sul segmento AB; si chiede piuttosto di trovare il punto C tracciando due archi di raggio uguale, ma con apertura del compasso scelta in modo arbitrario. Personalmente preferisco il metodo di Euclide, per due motivi:

— L'adozione di un raggio troppo corpo darebbe luogo a due archi che non si incontrano;

— Sarebbe necessario "trasportare" il compasso, puntandolo prima nel punto A e poi nel punto B, mantenendolo alla stessa apertura (cliccare qui per vedere come Euclide affronta la questione): operazione questa piuttosto delicata, dato che un uso maldestro del compasso potrebbe causare il cambiamento dell'apertura dello stesso, con conseguente perdita di precisione.

La costruzione del triangolo equilatero, come mostrato di sopra, consente di risolvere in un colpo solo entrambi i problemi: gli archi si incontreranno sicuramente, e l'apertura del compasso potrà essere verificata due volte a cavallo del suo spostamento, in modo da garantire la maggiore accuratezza possibile.

Voglio ricordare che Euclide si occupa di linee e cerchi ideali, e che le sue costruzioni sono da considerarsi assolutamente esatte. L'uso che noi facciamo di riga e compasso, per quanto accurato, ci consente solo di tracciare disegni approssimativi: ecco quindi perché è utile cercare il modo migliore di limitare le inevitabili imprecisioni.   ▲  

Dividere per metà un segmento dato

Per dividere in due parti uguali un segmento (Elementi, Libro I, Proposizione 10) occorre prima costruire un triangolo equilatero sul segmento AB dato

e poi bisecare l'angolo al vertice C del triangolo ottenuto.

I triangoli ACE e BCE sono congruenti, in quanto hanno i lati AC e BC uguali (lati di un triangolo equilatero), il lato CE in comune, e gli angoli ACE e BCE uguali; quindi anche i segmenti AE e BE sono congruenti.

Nota: anche se Euclide non lo dice esplicitamente, il segmento CE risulta essere perpendicolare al segmento AB. Infatti i due angoli AEC e BEC sono congruenti, e secondo la definizione X del Libro I degli Elementi:

Quando una retta innalzata su un'altra retta forma gli angoli adiacenti uguali fra loro, ciascuno dei due angoli uguali è retto, e la retta innalzata si chiama perpendicolare a quella su cui è innalzata.

Il procedimento esposto può essere semplificato, tenendo conto che gli archi di cerchio necessari alla costruzione del triangolo equilatero hanno lo stesso raggio che si usa per bisecare l'angolo in C. Considerando inoltre che non è necessario tracciare i lati del triangolo equilatero, il procedimento più semplice per dividere il segmento AB in due parti uguali è il seguente:

Anche in questo caso, come per la bisezione dell'angolo esposta di sopra, uso due archi di cerchio di raggio pari alla lunghezza del segmento AB. Si potrebbe in effetti utilizzare un qualsiasi altro raggio (purché di apertura sufficiente), ma valgono le stesse considerazioni già esposte.   ▲  

Tracciare rette perpendicolari a una retta data

Riunisco qui le due costruzioni che Euclide descrive nelle Proposizioni 11 e 12 del Libro I: Tracciare una retta perpendicolare ad una retta data, e passante per un punto della retta data stessa (Prop. 11), o passante per un punto esterno alla retta data (Prop. 12).

Le due costruzioni si basano sulla determinazione di due punti ausiliari sulla retta data, ed equidistanti dal punto A (sulla retta stessa) o dal punto B (esterno alla retta):

(non credo che siano necessarie ulteriori spiegazioni)   ▲  

Trasportare un angolo

La Proposizione 23 del Libro I degli Elementi chiede di "Costruire su una retta data, e con vertice in un punto di essa (D nel disegno sotto) un angolo rettilineo uguale a un angolo rettilineo dato (A)".

Nelle Proposizione 8 del Libro I Euclide ha già dimostrato il terzo criterio di congruenza di triangoli, ovvero quello per cui due triangoli sono congruenti se hanno congruenti i tre lati corrispondenti.

Il trasporto dell'angolo, come richiesto, viene semplicemente eseguito costruendo un triangolo arbitrario ABC (è sufficiente tracciare una qualsiasi linea BC che intersechi i due segmenti che definiscono l'angolo A) e poi ricopiando l'intero triangolo ABC a partire dal punto D; in questo modo gli angoli BAC e EDF saranno congruenti, ottenendo proprio ciò che era richiesto:

Questo procedimento richiede di "trasportare" la lunghezza di tre lati. Ma nessuno impedisce di costruire il triangolo ABC in modo che sia isoscele, con i lati uguali che convergono in A; in questo modo basterà trasportare due lunghezze sole:

Nota. In questa costruzione ho usato lo spostamento del compasso ad apertura costante, che non solo (come detto sopra) rischia di compromettere la precisione del disegno, ma è anche "vietato" da Euclide. Ricordo però che Euclide stesso ha già spiegato come "applicare" una distanza evitando di trasportare il compasso aperto. Chi volesse usare il metodo corretto dovrebbe procedere come segue:


ma forse, in questo caso... è meglio prendere la "scorciatoia"!   ▲  

... e poi?

Interrompo qui l'esposizione delle "costruzioni elementari", dato che quelle che seguono hanno a che fare con le parallele e con le circonferenze (argomenti troppo lunghi per poter essere inseriti in questa pagina) e di cui mi occupo nei capitoli a seguire.   ▲