I Numeri Transfiniti

Comincia qui una spiegazione che inizia con qualche considerazione sui numeri naturali, la loro "quantità" e la ricerca di vari tipi di insiemi infiniti. Il tutto con il racconto dei personaggi, delle conquiste e, purtroppo, dei clamorosi fallimenti: è un racconto a tratti davvero avvincente.

Sommario:

– I numeri Naturali
      Insiemi e "corrispondenza biunivoca"
      Numeri infiniti
      Aleph-zero
      Infiniti "più piccoli"?
      Numeri Transfiniti
      Intermezzo: l'albergo con infinite stanze
+ Ancora Aleph-zero
+ Il contesto storico
+ Oltre Aleph-zero: il Continuo
+ L'ipotesi del Continuo

Insiemi e "Corrispondenza Biunivoca"

La teoria degli insiemi non mi è stata insegnata a scuola: solo quando è diventata "di moda" ho cominciato a chiedermi a cosa servisse. Tutte quelle infinite definizioni come "unioni", "intersezioni", funzioni "iniettive" e "suriettive"... mi sembravano solo un modo di vessare i poveri studenti. Insomma non ne ho vista l’utilità pratica fino a quando non mi sono imbattuto nello studio dell’infinito, per il quale studio in realtà sono sufficienti due soli concetti: quello di insieme, appunto, e quello di "corrispondenza biunivoca".

Un insieme è una collezione di oggetti di vario genere, tutti diversi (o almeno, distinguibili) l’uno dall’altro. Per fare un esempio, posso considerare che la mia mano sinistra sia l’insieme delle sue cinque dita, e la mano destra l’insieme di altre cinque dita.

Domanda: come posso fare per stabilire se questi due insiemi (le mani) contengono lo stesso numero di elementi (dita)? Posso contarli:

DueMani

Oppure posso mettere in correlazione ciascun dito della mano sinistra con il rispettivo dito della mano destra:

5+5

In quest’ultimo caso ho messo in atto il concetto di "corrispondenza biunivoca": ad ogni elemento (dito) del primo insieme (mano sinistra) corrisponde uno ed un solo elemento (dito) del secondo insieme (mano destra), e viceversa. Avendo unito le dita delle due mani come si vede nella foto, posso affermare senza ombra di dubbio che la "potenza", o "cardinalità", o più semplicemente il numero di elementi contenuto da ciascuno dei due insiemi, è lo stesso. Non occorre contarli, non occorre affatto sapere quanti sono; la domanda era: hanno i due insiemi lo stesso numero di elementi? La risposta è senz’altro: Sì.

Se invece alla mano sinistra mancassero due dita:

3+5

la corrispondenza biunivoca non ci sarebbe più. Le dita della mano sinistra troverebbero la loro corrispondenza nelle rispettive dita della mano destra, ma qualche dito della mano destra non lo troverebbe più nella mano sinistra: ecco quindi che, anche non sapendo quante dita (elementi) contiene ciascuna mano (insieme), posso affermare che la mano destra ha una "potenza", o "cardinalità", o un numero di elementi, superiore alla mano sinistra.

Tutto quanto detto finora è intuitivo, direi quasi banale, perché ci siamo occupati di insiemi non solo finiti, ma di insiemi di cui è facile contare il numero di elementi. Facciamo invece un esempio con insiemi più grandi (ma sempre finiti). Ammettiamo di radunare in un una piazza una quantità molto grande di persone, e di voler stabilire se ci sono più maschi o più femmine. Siccome le persone sono tante...

Folla

... mi è impossibile contarle senza commettere errori, tanto più se, come è probabile, non se ne staranno ferme. Allora posso chiedere loro di mettersi a coppie: ciascun maschio dovrà trovare una femmina con cui tenersi per mano. A questo punto basta vedere se "avanzano" maschi (che quindi risulterebbero essere in maggior numero delle femmine) o femmine (sarebbero in numero maggiore dei maschi); se non ci sono avanzi, vuol dire che il numero dei due gruppi è esattamente lo stesso. Di nuovo: non so quanti sono gli elementi di ciascun insieme (maschi / femmine) ma ho stabilito quale insieme è il più grande, o se hanno la stessa potenza e sono quindi equipotenti.     

Numeri Infiniti

Parliamo ora di numeri. Impariamo a contare dalla più tenera età, e scopriamo che esiste sempre un numero "più grande". Quando riusciamo a contare fino a cento, scopriamo subito che c’è anche il centouno. Fino al mille, e c’è il milleuno! Intuiamo presto che non ci sarà mai fine: magari non sapremo "come si chiama", ma ci sarà sempre un numero più grande di qualunque numero riusciamo ad immaginare. Ecco, abbiamo trovato il più classico esempio di "insieme infinito": l’insieme dei numeri naturali.

E qual è la cardinalità dell’insieme infinito dei numeri naturali? Non posso certo dire quanti numeri contiene, perché sono infiniti; e dire che questa cardinalità è infinito non sarebbe di nessuna utilità, in quanto "infinito" non è un numero.     

Aleph-zero

Per risolvere questo problema Georg Cantor (1845 – 1918), il padre della teoria degli insiemi, ha deciso di identificare la cardinalità dell’insieme dei numeri naturali con un simbolo costituito dalla prima lettera dell’alfabeto ebraico, Aleph, e dall’indice 0:



A differenza del nome "infinito", il valore Aleph-zero assume piena dignità di numero, tant’è che su questo e altri numeri del genere si possono fare particolari calcoli aritmetici.     

Infiniti "più piccoli"?

Tornando ai nostri numeri naturali, possiamo adesso inventarci un altro insieme infinito, quello che contiene i soli numeri pari. Apparentemente un insieme in cui mancano tutti i numeri dispari dovrebbe avere una potenza minore rispetto all’insieme di tutti i numeri naturali. Ma sarà vero?

Essendo infiniti, è ovvio che non posso "contare" gli elementi di ciascuno di questi insiemi. Però posso ricorrere al concetto di corrispondenza biunivoca; e grazie a questo stratagemma stabilire se veramente l’insieme dei soli numeri pari sia più piccolo dell’altro, più o meno come avevo fatto con le mie mani di tre e cinque dita.

Allora scrivo su due colonne i numeri dei due insiemi: a sinistra i numeri naturali, a destra i numeri pari; su ogni riga compare quindi un numero (a sinistra) e il suo doppio (a destra), e il trattino sta a rappresentare la corrispondenza fra gli elementi di ciascun insieme:

1 — 2
2 — 4
3 — 6
4 — 8
........

Evidentemente ciascuno dei numeri naturali dell’insieme di sinistra trova il suo corrispondente nel suo doppio nell’insieme di destra; e ciascun numero pari dell’insieme di destra trova il suo corrispondente nel numero metà dell’insieme di sinistra. Fra i due insiemi c’è uno stato di corrispondenza biunivoca, quindi hanno la stessa potenza!

Posso ripetere lo stesso procedimento con i numeri quadrati, mettendo in corrispondenza i numeri naturali con i loro quadrati:

1 — 1² = 1 x 1 = 1
2 — 2² = 2 x 2 = 4
3 — 3² = 3 x 3 = 9
4 — 4² = 4 x 4 = 16
........

I numeri quadrati sono ancora più "radi" dei numeri pari... eppure anche il loro insieme ha la stessa potenza dei numeri naturali. Proprio in questo ragionamento si imbatté Galileo Galilei, che nel "Dialogo sopra i due massimi sistemi del mondo" dice: "nel numero infinito, se concepir lo potessimo, bisognerebbe dire, tanti essere i quadrati tanti i numeri insieme". In pratica intuisce il principio per cui un insieme infinito ha la stessa potenza di una sua parte, dicendo che "i quadrati non sono in numero inferiore degli interi"; ma non si spinge a dire che siano proprio in numero uguale: infatti conclude "gli attributi di eguale maggiore e minore non hanno luogo ne gl’infiniti, ma solo nelle quantità terminate".

Voglio ora fare un altro esempio, che metto solo per cercare di spiegare quanto può essere grande... un numero grande! Creiamo un altro insieme di numeri, non pari, non quadrati, ma neanche cubi o di altre potenze: creiamo l’insieme dei numeri cosiddetti fattoriali. I quali sono il prodotto di tutti i numeri interi compresi fra 1 e il numero dato (i numeri fattoriali si indicano con il punto esclamativo):

1 — 1! = 1
2 — 2! = 1 x 2 = 2
3 — 3! = 1 x 2 x 3 = 6
4 — 4! = 1 x 2 x 3 x 4 = 24

I numeri salgono molto velocemente. Facciamo qualche altro esempio:

5 — 5! = 1 x 2 x 3 x 4 x 5 = 120
6 — 6! = 1 x 2 x 3 x 4 x 5 x 6 = 720
......
59 — 59! = 1 x 2 x 3 x 4 x ... x 58 x 59 = circa 1 seguito da 80 zeri.

Ecco, quest’ultimo numero, un 1 seguito da 80 zeri... è circa pari al numero totale di atomi che compongono l’intero universo. Cioè stiamo mettendo in corrispondenza il numero 59, un numero semplice, di uso direi quotidiano, con uno dei massimi numeri che abbiano un qualche significato fisico in natura! E andando avanti con numeri maggiori, otteniamo risultati praticamente impossibili da scrivere... riuscite a immaginarli?

   60 —     60!  = circa 8 seguito da 81 zeri, 80 volte il numero di atomi dell’universo
   61 —     61!  = circa 5 seguito da 83 zeri, 5000 volte il numero di atomi dell’universo
  100 —   100!  = circa 9 seguito da 157 zeri
1000 — 1000!  = circa 4 seguito da 2567 zeri
....

Insomma vengono numeri che non hanno più niente di confrontabile con qualsiasi cosa di reale. Notare che nell’insieme di sinistra siamo arrivati solo al mille; ma se mettessimo un miliardo, questo numero troverebbe tranquillamente il suo corrispondente nell’insieme dei numeri fattoriali... anche se non so neanche immaginare quante cifre possa avere il fattoriale di un miliardo!

Nonostante questo, gli insiemi dei numeri naturali e dei numeri fattoriali sono indubbiamente equipotenti e hanno quindi la stessa cardinalità.     

Numeri Transfiniti

Con questi discorsi abbiamo intuito che non è possibile trovare un sottoinsieme dei numeri naturali che sia infinito ma che abbia potenza minore dei numeri naturali stessi. In pratica l’insieme dei numeri naturali è il più piccolo insieme infinito esistente, la cui cardinalità, come dicevamo è identificata dal simbolo Aleph-0. Aleph-0 è il primo dei numeri cosiddetti "transfiniti". Procederemo nel prossimo capitolo alla (per il momento) vana ricerca di quelli successivi, relativi a infiniti "più grandi"... ma adesso facciamo un intermezzo!

Intermezzo: l'albergo con infinite stanze

L'albergo con infinite stanze

L'altro giorno sono entrato in quest'albergo che vantava di avere... infinite stanze. Quando mi hanno detto che erano tutte occupate, ho chiesto se non si potesse fare qualcosa: il portiere ci ha pensato su, e poi ha chiesto a tutti gli ospiti dell'albergo di spostarsi nella stanza di numero uguale a quella che stavano occupando più uno. Così l'ospite della stanza numero uno è andato nella due, quello della due nella tre e così via: come per incanto è rimasta libera la stanza numero uno, che ho occupato felicemente non senza aver prima elargito un'adeguata mancia al portiere.

Il giorno dopo è arrivato un pullman con 1000 turisti, ma l'albergo era sempre pieno: il portiere ha ripetuto il giochetto, chiedendo a tutti gli ospiti di spostarsi nella stanza di numero uguale a quella già occupata più mille. Mi sono ritrovato nella stanza 1001.

Il giorno dopo ancora è arrivato un altro pullman, questa volta con infiniti turisti a bordo. Impossibile trovare alloggio per tutti? Macché: a ogni ospite dell'albergo è stato chiesto di spostarsi nella stanza di numero uguale al doppio di quella occupata. Si sono così liberate tutte le stanze dispari, in cui hanno trovato posto i nuovi arrivati; per quanto riguarda me, mi sono ritrovato nella stanza 2002 (in quest'albergo non si sta mai tranquilli!).

Il giorno dopo ancora, gli infiniti ospiti del pullman del giorno prima se ne sono andati. A questo punto il portiere (che ho scoperto essere anche il proprietario dell'albergo) si è messo a imprecare, e diceva: "come si fa a mandare avanti un albergo come questo, se metà delle stanze sono vuote?"

Gli ho suggerito io la soluzione: basta che ciascun ospite torni nella stanza metà di quella che occupava (in pratica tornando alla situazione precedente all'arrivo degli infiniti turisti). Paradossi dell'infinito...

Per questa storiella mi sono ispirato al racconto "L'hotel straordinario, o il milleunesimo viaggio di Ion il Tranquillo" di Stanislaw Lem, pubblicato nel libro "Racconti matematici" edito da Einaudi. [Lem è anche l'autore del romanzo di fantascienza "Solaris", dai cui è stato tratto l'omonimo film del 1972].

Prossimo capitolo: Ancora Aleph-zero

2 commenti:

  1. Le storielle sono piacevoli. Ma il problema centrale resta: qual'è l'utilità pratica degli insiemi ?
    A cosa servono nella pratica quotidiana gli insiemi ? A capire che una patata non è un martello ?
    A parte il rompimento di coglioni più unico che raro della sensazione di perdere tempo ed energie nel tentare di imparare coartatamente un qualcosa che si rivela inutile e ti spinge a odiare la matematica in tutte le sue promanazioni ?

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  2. Un'altra cosa:
    in rappresentazione tabulare di 1100 [1,0]
    mi dici come rappresentare 11100011001110000 ?
    Per curiosità.

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