Tetradecagono (approssimato)

Il tetradecagono regolare non può essere inscritto in una circonferenza se non in modo approssimato. Per la sua costruzione si può partire da un Ettagono e bisecare uno degli angoli al centro; ma di fatto si può procedere con un meccanismo più semplice:



Gli angoli α e β sono supplementari, cioè la loro somma è pari a 180° (mezzo angolo giro). Ammesso che l'angolo α sia un settimo di angolo giro, cioè l'angolo al centro di un ettagono, l'angolo β si può calcolare per differenza:

β = 1/2 - 1/7 = 7/14 - 2/14 = 5/14 (frazioni di angolo giro)

Siccome i numeri 5 e 14 sono primi fra loro, per ottenere i vertici del tetradecagono basta riportare ripetutamente l'angolo 5/14 di giro sulla circonferenza. Ecco quindi la costruzione completa:

Tridecagono (approssimato)

Un tridecagono regolare è impossibile da costruire con l'uso di soli riga e compasso. La costruzione che segue fornisce un errore intorno al mezzo centesimo di grado:



Con apertura pari al raggio del cerchio, puntando in D si traccia l'arco OE, e in C l'arco FOG. Si congiungono i punti FG determinando il punto M nell'intersezione con il raggio OC. Puntando in M, con apertura pari al semiraggio MO, si traccia l'arco IOH; si tracciano poi i raggi OK (passante per I) e OJ (passante per H).

Si uniscono, prolungandoli fino al punto di intersezione L, i segmenti EF e KJ; infine si tracciano il segmento LA, che interseca la circonferenza in T, e il raggio OT: l'angolo TÔB equivale a (circa) cinque volte l'angolo al centro del tridecagono.

Infatti ammettendo che il cerchio sia centrato nell'origine, e abbia raggio unitario, abbiamo le seguenti lunghezze:

— LQ = ½ √2
— LP = QO = ½ √3
— QA = QO + OA = ½ √3 + 1

— LÂQ = atan( ( ½ √2 ) / ( ½ √3 + 1 ) ≈ 20,75357°
— TÔB = 2 LÂQ ≈ 41,50714°
— TÔA = 180° - TÔB ≈ 138,49286°

— TÔA /   5 ≈ 27,69857°
— 360° / 13 ≈ 27,69231°
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                      0,00626°

Ecco l'animazione completa del procedimento: