Euclide: il "Secondo" Teorema

Sommario:

+ Gli Elementi di Euclide
+ Euclide: Il "Primo" Teorema
– Euclide: Il "Secondo" Teorema
      Un po' di confusione?
      Elementi, Libro VI, Proposizione 8
      Geometria vs. Proporzioni

Un po' di confusione?

Così come già evidenziato a proposito del Primo Teorema, nei suoi Elementi Euclide non enuncia mai esplicitamente ciò che tradizionalmente viene indicato come suo "Secondo Teorema":

Il secondo teorema di Euclide
In un triangolo rettangolo, il quadrato costruito sull'altezza relativa all'ipotenusa è equivalente al rettangolo che ha per lati le proiezioni dei due cateti sull'ipotenusa".
Questo enunciato è estratto da vari teoremi, come vedremo qui di seguito.     

Elementi, Libro VI, Proposizione 8
Se in un triangolo rettangolo si conduce la perpendicolare dell'angolo retto sulla base, la stessa perpendicolare divide il triangolo in due triangoli simili e tutto quanto il triangolo e fra loro

Euclide 2

Dato il triangolo ABC, rettangolo in B, tracciamo l'altezza BD relativa all'ipotenusa. Questa divide l'ipotenusa stessa in due segmenti che sono la proiezione dei cateti, e divide il triangolo iniziale in due più piccoli ABD e BCD.

Prendiamo in esame il triangolo iniziale ABC e quello di sinistra ABD: sono entrambi rettangoli (rispettivamente in B e in D), e hanno l'angolo α in comune; di conseguenza sono uguali anche gli angoli rimanenti (in C e in B).

Discorso analogo se si prendono in esame il triangolo iniziale ABC e quello di destra BCD: sono entrambi rettangoli (rispettivamente in B e in D), e hanno l'angolo β in comune; di conseguenza sono uguali anche gli angoli rimanenti (in A e in B).

I tre triangoli hanno quindi tutti gli angoli corrispondenti uguali fra loro e dunque, per il primo criterio di similitudine dei triangoli, sono simili fra loro. (Chiaramente Euclide nei suoi Elementi non manca di dimostrare la validità di questo criterio di similitudine).     

Geometria vs. Proporzioni




L'angolo α è in comune fra il triangolo originale ABC e il triangolo di sinistra ABD, menree l'angolo β è in comune fra il triangolo originale ABC e il triangolo di destra BCD. Tutti e tre i triangoli sono rettangoli (per definizione quello originale e per costruzione i due più piccoli): allora si può applicare il "primo criterio di similitudine dei triangoli", secondo il quale

Affinché due triangoli siano simili occorre che siano uguali tutti e tre gli angoli (in realtà ne bastano due: il terzo viene di conseguenza, grazie al fatto che la somma degli angoli interni di qualsiasi triangolo è sempre 180°). Quindi vediamo: i tre triangoli sono rettangoli (quello originale in B, gli altri in D); l'angolo α è in comune fra il triangolo originale e il triangolo di sinistra; l'angolo β è in comune fra il triangolo originale e il triangolo di destra: tutti e tre i triangoli hanno quindi gli angoli uguali.

In due triangoli simili, il rapporto fra i lati corrispondenti è costante. Si può scrivere in forma di proporzione:

AD : DB = DB : DC

oppure in forma di frazioni:

AD    DB
---- = ----
DB    DC

Moltiplicando a destra e sinistra sia per DB che per DC

AD x DB x DC    DB x DB x DC
--------------------- = ---------------------
        DB                   DC

ed eliminando i termini che compaiono sia al numeratore che al denominatore otteniamo:

AD x DC = DB x DB

Quindi:

AD x DC = DB²

Ecco che il quadrato costruito sull'altezza DB del triangolo (quindi DB²) è equivalente al rettangolo che ha per lati le proiezioni dei due cateti sull'ipotenusa (AD x DC), come volevasi dimostrare. Le aree uguali sono quelle evidenziate in azzurro nell'immagine iniziale.

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