Euclide: il "Secondo" Teorema

Sommario:

+ Gli Elementi di Euclide
+ Euclide: Il "Primo" Teorema
– Euclide: Il "Secondo" Teorema
      Un po' di confusione?
      Elementi, Libro VI, Proposizione 8
      Geometria vs. Proporzioni

Un po' di confusione?

Così come già evidenziato a proposito del Primo Teorema, nei suoi Elementi Euclide non enuncia mai esplicitamente ciò che tradizionalmente viene indicato come suo "Secondo Teorema":

In un triangolo rettangolo, il quadrato costruito sull'altezza relativa all'ipotenusa è equivalente al rettangolo che ha per lati le proiezioni dei due cateti sull'ipotenusa".

Questo enunciato è estratto da vari teoremi, come vedremo qui di seguito.   ▲  

Elementi, Libro VI, Proposizione 8

Se in un triangolo rettangolo si conduce la perpendicolare dell'angolo retto sulla base, la stessa perpendicolare divide il triangolo in due triangoli simili e tutto quanto il triangolo e fra loro

Dato il triangolo ABC, rettangolo in B, tracciamo l'altezza BD relativa all'ipotenusa. Questa divide l'ipotenusa stessa in due segmenti che sono la proiezione dei cateti, e divide il triangolo iniziale in due più piccoli ABD e BCD.

Prendiamo in esame il triangolo iniziale ABC e quello di sinistra ABD: sono entrambi rettangoli (rispettivamente in B e in D), e hanno l'angolo α in comune; di conseguenza sono uguali anche gli angoli rimanenti (in C e in B).

Discorso analogo se si prendono in esame il triangolo iniziale ABC e quello di destra BCD: sono entrambi rettangoli (rispettivamente in B e in D), e hanno l'angolo β in comune; di conseguenza sono uguali anche gli angoli rimanenti (in A e in B).

I tre triangoli hanno quindi tutti gli angoli corrispondenti uguali fra loro e dunque, per il primo criterio di similitudine dei triangoli, sono simili fra loro. (Chiaramente Euclide nei suoi Elementi non manca di dimostrare la validità di questo criterio di similitudine).   ▲  

Geometria vs. Proporzioni




L'angolo α è in comune fra il triangolo originale ABC e il triangolo di sinistra ABD, menree l'angolo β è in comune fra il triangolo originale ABC e il triangolo di destra BCD. Tutti e tre i triangoli sono rettangoli (per definizione quello originale e per costruzione i due più piccoli): allora si può applicare il "primo criterio di similitudine dei triangoli", secondo il quale

Affinché due triangoli siano simili occorre che siano uguali tutti e tre gli angoli (in realtà ne bastano due: il terzo viene di conseguenza, grazie al fatto che la somma degli angoli interni di qualsiasi triangolo è sempre 180°). Quindi vediamo: i tre triangoli sono rettangoli (quello originale in B, gli altri in D); l'angolo α è in comune fra il triangolo originale e il triangolo di sinistra; l'angolo β è in comune fra il triangolo originale e il triangolo di destra: tutti e tre i triangoli hanno quindi gli angoli uguali.

In due triangoli simili, il rapporto fra i lati corrispondenti è costante. Si può scrivere in forma di proporzione:

AD : DB = DB : DC

oppure in forma di frazioni:

AD    DB
---- = ----
DB    DC

Moltiplicando a destra e sinistra sia per DB che per DC

AD x DB x DC    DB x DB x DC
--------------------- = ---------------------
        DB                   DC

ed eliminando i termini che compaiono sia al numeratore che al denominatore otteniamo:

AD x DC = DB x DB

Quindi:

AD x DC = DB²

Ecco che il quadrato costruito sull'altezza DB del triangolo (quindi DB²) è equivalente al rettangolo che ha per lati le proiezioni dei due cateti sull'ipotenusa (AD x DC), come volevasi dimostrare. Le aree uguali sono quelle evidenziate in azzurro nell'immagine iniziale.

Euclide: il "Primo" Teorema

Sommario:

+ Gli Elementi di Euclide
– Euclide: Il "Primo" Teorema
      Un po' di confusione?
      Elementi, Libro I, Proposizione 47
+ Euclide: Il "Secondo" Teorema

Un po' di confusione?

Nel corso di studi delle scuole medie vengono solitamente insegnati il Primo e il Secondo Teorema di Euclide, creando però una certa confusione filologica. In particolare l'enunciato del Primo Teorema ci viene esposto così:

In un triangolo rettangolo il quadrato costruito su un cateto è equivalente al rettangolo avente per dimensioni l'ipotenusa e la proiezione di quel cateto sull'ipotenusa stessa.

Ebbene, questo enunciato negli Elementi di Euclide non esiste, ma la sua dimostrazione è compresa nella proposizione che segue.   ▲  

Elementi, Libro I, Proposizione 47

Nei triangoli rettangoli il quadrato del lato opposto all'angolo retto è uguale alla somma dei quadrati che comprendono l'angolo retto.

Risulta evidente che si tratta dell'enunciato del Teorema di pitagora, ma Euclide non lo affronta occupandosi direttamente dell'intero quadrato costruito sull'ipotenusa; quest'ultimo viene piuttosto diviso in due rettangoli:



Dato il triangolo ABC rettangolo in B, Euclide traccia l'altezza da B sull'ipotenusa AC, trovando il punto J (detto in altre parole, il segmento AJ è la proiezione del cateto AB sull'ipotenusa). In base a questo punto divide il quadrato ACIH nei due rettangoli AJKH e JCIK: secondo il primo teorema di Euclide l'area del quadrato costruito sul cateto AB, e l'area del rettangolo che ha per lati l'ipotenusa e la proiezione del cateto AB sull'ipotenusa (le aree indicate in blu) sono equivalenti.



I triangoli verde e rosso qui sopra sono uguali (congruenti): i lati AE e AB sono uguali in quanto lati di uno stesso quadrato; anche AC e AH sono lati di uno stesso quadrato. Affinché due triangoli siano uguali, oltre a due lati deve essere uguale anche l'angolo compreso: e ciò è senz'altro vero per gli angoli in A dei due triangoli, in quanto sono entrambi pari all'angolo α più un angolo retto.



Vediamo ora l'area del triangolo verde. Se prendiamo come base il lato AE, l'altezza è la proiezione di C sul prolungamento di AE, quindi risulta essere CL. Ma CL è uguale ad AB (lati opposti di un rettangolo): base e altezza del triangolo coincidono con i lati del quadrato costruito su AB, quindi l'area di questo triangolo è metà dell'area del quadrato stesso.

Per quanto riguarda l'area del triangolo rosso, se prendiamo AH come base, l'altezza è la proiezione di B sul prolungamento di AH, quindi risulta essere BM. Dato che BM è uguale ad AJ (lati opposti di un rettangolo), il triangolo ha per base e altezza i lati del rettangolo AJKH, quindi il triangolo rosso ha area metà del rettangolo stesso.

Ricapitolando: il triangolo verde ha area metà del quadrato costruito sul cateto AB; il triangolo rosso ha area metà del rettangolo che ha per lati l'ipotenusa e la proiezione del cateto AB sull'ipotenusa stessa; ma i due triangoli sono uguali, quindi le aree del quadrato e del rettangolo sono anch'esse uguali: ecco dimostrato il cosiddetto "Primo Teorema di Euclide".



Per completare la dimostrazione del Teorema di Pitagora basta replicare il discorso per il cateto BC, il quadrato costruito su di esso e il rettangolo JCIK. Ciascuno dei quadrati costruiti sui cateti ha area uguale ai due rettangoli in cui è stato diviso il quadrato costruito sull'ipotenusa, quindi la somma dei quadrati costruiti sui cateti è equivalente al quadrato costruito sull'ipotenusa.   ▲