Numeri Transfiniti: il contesto storico

Sommario:

+ I numeri Naturali
+ Ancora Aleph-zero
– Il contesto storico
      Rifondare la matematica
      Giuseppe Peano
      Bertrand Russell
      Gottlob Frege
      David Hilbert
      Kurt Gödel
+ Oltre Aleph-zero: il Continuo
+ L'ipotesi del Continuo

Rifondare la matematica

Nel XIX secolo la matematica era arrivata a un livello di sviluppo veramente notevole, ed era in continua evoluzione. Qualcuno cominciò ad avere dei dubbi sulla correttezza di tutto ciò, in quanto è bensì vero che da premesse valide, con ragionamenti corretti, si arriva sempre a conclusioni altrettanto valide; ma siamo sicuri che tutte le premesse siano valide, e che da qualche parte non sia stato commesso un qualche errore di ragionamento?

Si andavano profilando due ordini di dubbi, dei quali il primo era già stato indicato da Kant nella "Critica della ragion pura". Questo era: quanto può il processo di induzione essere portato avanti senza "partire per la tangente"? Il secondo ordine di dubbi invece era: le basi sulle quali si appoggia tutto il castello sono davvero solide?

L’Analisi Matematica era (ed è) un campo cruciale, in quanto consente di descrivere il funzionamento dei sistemi fisici. In questo campo si gioca abbastanza disinvoltamente con zeri, infiniti e infinitesimi, si fanno addirittura somme di infiniti infinitesimi. Per fortuna l’Analisi ha spesso il modo di confrontarsi con la fisica, per cui storicamente è capitato anche che non sia stata la fisica a essere "capita" dalla matematica, ma la matematica ad essere "convalidata" dalla fisica.

Certo questo modo di procedere non poteva bastare ai matematici, puntigliosi e perfezionisti come sono: ecco quindi la necessità di fare un ragionamento complessivo sulla materia, cercando di partire dal minor numero di assiomi, per poi arrivare alle questioni più complesse per piccoli passi, incontrovertibilmente dimostrabili. (Gli assiomi, anche detti postulati, sono enunciati che, pur non essendo dimostrati, sono considerati veri; vengono usati per fornire i punti di partenza necessari alla delineazione di un quadro teorico, come può essere quello della teoria degli insiemi).     

Giuseppe Peano

Giuseppe Peano

Dovendo iniziare dalle cose più semplici, la cosa ovvia era di partire dai numeri naturali. I quali, pur essendo intuitivi, richiedevano una definizione precisa. Giuseppe Peano (1858-1932), il primo logico matematico italiano della storia, li definì in base a questi cinque assiomi:

— Esiste un numero naturale zero
— Ogni numero naturale ha un numero naturale successore
— Numeri diversi hanno successori diversi
— Zero non è il successore di alcun numero naturale
— Ogni insieme di numeri naturali che contenga lo zero e il successore di ogni proprio elemento coincide con l'intero insieme dei numeri naturali

Io li trovo magnifici, ma non tutti la pensano così. Per esempio la definizione di "successore" non è stata considerata sufficientemente precisa, si potrebbe contare di due in due, o di tre in tre... (i logici, coloro che si occupano di logica, riescono ad essere addirittura più puntigliosi e precisi dei matematici!)

I logici sanno che devono stare molto attenti: non è detto che le loro costruzioni non entrino mai in contraddizione. Lo scoprirono già gli antichi greci, grazie a tale Epimenide di Creta (VI secolo a.C.), il quale, cretese appunto, ebbe a dire che "tutti i Cretesi sono bugiardi". Si capisce bene che si tratta di un paradosso: se egli, cretese, stesse dicendo la verità, allora non sarebbe vero che tutti i cretesi sono bugiardi; se invece fosse bugiardo, starebbe affermando una cosa vera! (*) Contraddizioni di questo tipo, o "antinomie" (le situazioni per cui, posta una questione particolare, se ne possono ricavare due affermazioni apparentemente valide ma che sono in contrasto fra loro) sono sempre in agguato.

(*) Il paradosso del mentitore, come espresso da Epimenide, non è corretto: basta pensare che almeno un cretese dica la verità. Allora Epimenide sarebbe effettivamente bugiardo dicendo che i cretesi sono tutti bugiardi, perché in realtà ce n'è uno che non lo è. Comunque i logici moderni hanno saputo creare altri paradossi per cui... non c'è scappatoia che tenga!     

Bertrand Russell

Bertrand Russell

Insomma, i logici ci pensano un po’ su, trovano che i numeri naturali non sono la base giusta da cui partire, e cercano qualcosa di più potente e versatile: inventano il concetto di Insieme. In effetti si può verificare l'efficacia della Teoria degli Insiemi proprio nel definire la serie dei Numeri Naturali: come vedremo fra poco, si tratta di una costruzione davvero elementare (nel senso che richiede un numero veramente ridotto di concetti di base, anche se non è una cosa affatto semplice).

Gli insiemi sono collezioni di uno o più elementi distinguibili l’uno dall’altro (esiste anche l’insieme vuoto); il numero di elementi contenuto da ciascun insieme è detto potenza dell’insieme. L’insieme vuoto ha quindi potenza zero, quelli con un solo elemento hanno potenza uno, e così via. Per ottenere l'intera serie dei numeri naturali basta procedere come segue:

— all’insieme vuoto, che ha zero elementi e quindi ha potenza 0, viene associato il numero zero.

— si crea la regola per cui il successore B di un insieme A è dato dall’unione degli elementi dell’insieme A con l’insieme A stesso; in questo modo si aggiunge l’elemento costituito dall’insieme A agli elementi già contenuti in A, ottenendo un insieme B che ha una potenza maggiore di un'unità rispetto all'insieme A: assoceremo alla potenza di questo nuovo insieme il numero naturale corrispondente.

Vediamo meglio come funziona il tutto: agli elementi dell'insieme vuoto (che non ne ha) aggiungo l'insieme vuoto stesso, ottenendo l'insieme uno che conterrà solo un insieme vuoto, e quindi avrà potenza uno; agli elementi dell'insieme uno (che contiene un insieme vuoto) aggiungo l'insieme uno e ottengo l'insieme due (conterrà l'insieme vuoto e l'insieme uno); quello tre avrà tre elementi (l'insieme vuoto, l'uno e il due), e così via: ciascuno con potenza pari al numero di elementi che contiene. Avendo associato ciascuno di questi insiemi ai numeri che esprimono la loro potenza, con questo abbiamo definito l'intera serie dei numeri naturali.

In sostanza, bastano i concetti di insieme (e insieme vuoto) e di successore per creare l'intera serie dei Numeri Naturali!

Fra il XIX e il XX secolo gli studi per rifondare la matematica andarono avanti speditamente, con e senza l'uso della teoria degli insiemi (non tutti i matematici la vedevano di buon occhio; ma come abbiamo visto, e vedremo ancora, Georg Cantor la usò in modo spettacolare per aggredire il concetto di infinito). Le basi a quel punto erano davvero solide, e c'era la convinzione diffusa che non si sarebbe mai trovata una contraddizione, non si sarebbe mai trovato un paradosso (o antinomia, come quella del mentitore).     

Gottlob Frege

Gottlob Frege

Anche Gottlob Frege (1848-1925), considerato uno dei più grandi logici dopo Aristotele, stava contribuendo alla ricostruzione della matematica. Aveva già pubblicato il primo tomo del suo "Principi di Aritmetica" e stava per andare in stampa con il secondo volume, quando riceve una lettera da Bertrand Russell. Russell affronta la seguente questione:
Può un insieme essere elemento di sé stesso, ovvero contenere se stesso?
La risposta è sì. Ad esempio, l'insieme di tutti i libri di una biblioteca non è elemento di sé stesso. Invece, l'insieme di tutti gli insiemi con più di 20 elementi è elemento di sé stesso. Allora vediamo quest’altra questione:
Che tipo di insieme salta fuori se ne creo uno che contenga tutti gli insiemi che non contengono se stessi?
Vediamo per tentativi, provando a considerare o meno questo insieme come elemento di se stesso:

— se dico che questo insieme non contiene se stesso, fa parte del gruppo degli insiemi che non contengono se stessi, e quindi dovrebbe farne parte (ma l'ipotesi era che non ne facesse parte)

— se dico che questo insieme contiene se stesso, non fa parte del gruppo degli insiemi che non contengono se stessi, e quindi non dovrebbe farne parte (ma l'ipotesi era che ne facesse parte)

Ecco il paradosso fatale: alla creazione dell'insieme degli insiemi che non contengono se stessi consegue la comparsa di un'antinomia, ed è quanto basta per smontare l’illusione di un sistema logico completo e coerente. L’esistenza di una contraddizione come questa è la crepa che fa crollare il castello.

Frege prese atto delle conseguenze distruttive per il sistema che aveva costruito e si rassegnò a scrivere un'appendice ai suoi Principi, in cui confessava il fallimento della sua opera. Le contraddizioni messe in luce dal paradosso di Russell sono insolubili nell'ambito della teoria degli insiemi, e i logici matematici hanno dovuto sudare parecchio per imparare a gestire questo stato di cose.     

David Hilbert

David Hilbert

... e la Geometria? Nel XIX secolo erano stati compiuti moti sforzi per "assiomatizzare", ovvero riformulare su basi logiche, un po' tutti i campi della matematica. Ma la Geometria, che peraltro aveva avuto sviluppi grandiosi (ad esempio con la nascita delle Geometrie non Euclidee), era stata per lo più esclusa da questo processo.

La lacuna viene colmata da David Hilbert (1862-1943) il quale, nel 1899, pubblica un testo fondamentale: i Fondamenti della Geometria (di cui accenno qui qualche dettaglio). Si tratta del primo risultato veramente compiuto di assiomatizzare una parte della matematica senza incorrere in antinomie o contraddizioni. Il testo ebbe successo immediato, spronando ancor di più gli sforzi per arrivare a risultati analoghi negli altri campi della matematica — peraltro potremmo dire che con questo testo Hilbert spronava anche sé stesso, anche se era conscio del fatto che il compito sarebbe stato superiore alle proprie forze (come a quelle di qualsiasi altro singolo matematico), quindi approfittò di una circostanza molto particolare:

Nel 1900 a Parigi si riuniva il secondo Congresso Internazionale dei Matematici (il primo si era svolto a Zurigo nel 1893). Invitato a intervenire, Hilbert, invece di illustrare qualche proprio risultato già raggiunto, espose un elenco di problemi da risolvere: era una specie di "compito in classe" per tutto il mondo matematico del secolo a venire.

Nel suo intervento Hilbert elenca una decina di problemi, scelti fra la lista di quelli che saranno poi conosciuti come i ventitré "Problemi di Hilbert" (l'elenco completo compare nella memoria scritta da Hilbert per la pubblicazione negli atti del congresso). Di questi, alcuni furono risolti in breve tempo, altri hanno richiesto vari decenni, mentre qualcosa è stato incluso anche fra i sette "Problemi per il Millennio", un elenco analogo a quello di Hilbert, promosso dall'Istituto Matematico Clay nel "Convegno del Millennio" di Parigi, il 24 maggio 2000.

Dei problemi di Hilbert, per l'argomento che stiamo trattando in questi capitoli sono di particolare interesse i primi due:
1 — Dimostrare l'ipotesi del Continuo;
2 — Dimostrare la validità assoluta degli assiomi dell'aritmetica.
Del primo problema ci occuperemo nei prossimi capitoli, mentre il secondo problema chiede di fare proprio ciò di cui ci stiamo occupando qui: dimostrare (come era già stato fatto per la geometria euclidea, proprio a opera di Hilbert) che gli assiomi dell'aritmetica sono anch'essi consistenti e coerenti. Vediamo cosa significano esattamente questi due termini:

Consistenza — Gli assiomi alla base di una teoria (in questo caso, l'aritmetica) devono essere completi (o sufficienti), in modo da coprire tutti i possibili sviluppi della teoria; inoltre bisogna verificare che non verranno mai in conflitto fra loro, ovvero che non ne possano nascere contraddizioni.

Coerenza — Garantire che i teoremi che saranno sviluppati a partire dallo stesso insieme di assiomi non saranno mai in contraddizione fra loro.

(Tutto sommato, sembra il minimo che si possa chiedere a una teoria matematica...)

Nell'introduzione al suo discorso, Hilbert fa riferimento a due problemi matematici antichissimi: la quadratura del cerchio e la duplicazione del cubo. A seguito di secoli e secoli di tentativi andati a vuoto, finalmente nel XIX secolo si è dimostrata l'impossibilità di risolverli. E questo tutto sommato è un fatto positivo: è sicuramente meglio che un'affermazione sia dimostrata falsa piuttosto che rimanere nel dubbio, o peggio, arrivare a dimostrarne la "indecidibilità".

Purtroppo nei tentativi di assiomatizzare la matematica i casi indecidibili stavano continuando ad emergere, come l'Antinomia di Russell già citata; ecco quindi il compito assegnato ai matematici: cercare di eliminare questo genere di anomalie.     

Kurt Gödel

Kurt Gödel

La speranza di costruire un castello interamente coerente della matematica si è infranta definitivamente nel 1931, quando Kurt Gödel (1906-1978) dimostrò il suo Primo Teorema di Incompletezza. Questo dice:
In ogni teoria matematica T ... esiste una formula F tale che, se T è coerente, allora né F né la sua negazione sono dimostrabili in T.
Questo teorema (semplificando) afferma che in un sistema assiomatico salterà sempre fuori un enunciato non dimostrabile a partire dagli assiomi di partenza, ovvero un caso indecidibile del quale non si può dire se sia vero oppure falso.

Il Secondo Teorema di Incompletezza recita invece:
Nessun sistema coerente può essere utilizzato per dimostrare la sua stessa coerenza.
In pratica, se voglio costruire un sistema matematico partendo da qualche assioma di partenza, avrò bisogno di qualche assioma esterno alla teoria per verificarne la validità...

Questi risultati di Gödel vengono da qualcuno considerati il risultato più decisivo raggiunto nel campo della logica matematica: infatti sembra precludere ogni speranza di arrivare a una certezza matematica. Per fortuna, i matematici non si sono sentiti tarpare le ali da questi teoremi, tant'è che hanno continuato, e continuano, a produrre teoremi su teoremi...

Insomma, stiamo attenti a dire che la matematica è "tutta sbagliata": rischieremmo di buttare via il bambino con l'acqua sporca! Si è solo scoperto che la coerenza logica, quando si raggiungono certi ragionamenti limite, non è pienamente raggiungibile. Ma quando pagate il conto al ristorante, state tranquilli che nel calcolo del resto non si presenterà mai alcuna antinomia!     

Prossimo capitolo: Il Continuo

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