Numeri Transfiniti: il Continuo

Sommario:

+ I numeri Naturali
+ Ancora Aleph-zero
+ Il contesto storico
– Oltre Aleph-zero: il Continuo
      La Linea di Euclide
      La Retta dei numeri
      I numeri Trascendenti
      I numeri Reali
      Il "Continuo"
      Potenza del Continuo
      La dimostrazione di Cantor
+ L'ipotesi del Continuo

La Linea di Euclide

Un punto è ciò che è privo di parti

Credo che sia la più celebre definizione della geometria: è la prima fra quelle elencate da Euclide nei suoi "Elementi". Le successive tre invece sono:

Una linea è una lunghezza senza larghezza
Le estremità di una linea sono punti
La retta è quella linea che giace sui suoi punti in modo uniforme

Se fossi uno che non ne sa niente, non so se da queste definizioni, soprattutto la quarta, saprei immaginare cos’è una linea retta... meno male che tutti noi abbiamo almeno una volta tracciato una linea con righello e lapis! Però mi sembrano interessanti un paio di considerazioni:

— Una linea non solo "non ha larghezza", ma è fatta da punti "che sono privi di parti": questi punti sono quindi piccoli, piccolissimi, diciamo pure infinitesimali; se potessi tracciare una linea ideale, essa risulterebbe assolutamente invisibile!

— Il fatto che i punti siano privi di parti, fa sì che per costituire una linea continua tali punti debbano essere accostati l’uno all’altro con una densità estrema, pena il veder comparire dei "buchi". Vedremo in seguito ricomparire i concetti di densità e continuità.   ▲  

La Retta dei numeri

Lavorando con rette e numeri, Richard Dedekind (1831-1916) ha costruito una teoria rigorosa che ci limiteremo a descrivere in modo intuitivo: una retta può essere utilizzata per rappresentare tutti i numeri esistenti. In pratica si prende una retta (di lunghezza infinita), si traccia un punto che sarà l’origine al quale assegnare il valore zero; poi si stabilisce un segmento unitario, e riportandolo sulla retta quante volte su vuole, otteniamo a destra dello zero i numeri naturali positivi, a sinistra i numeri negativi.



Naturalmente i soli punti identificati dai numeri interi non danno luogo a una linea continua, ma solo a una serie di punti ben spaziati l’uno dall’altro. Allora possiamo aggiungere i numeri razionali: dividendo ogni segmento unitario in n parti uguali, si ottiene la rappresentazione delle frazioni di denominatore uguale ad n; ripetendo l’operazione per ogni n, si ottengono infiniti punti della retta, che rappresentano numeri razionali.



Tali punti sono distribuiti in forma "densa", nel senso che tra due punti razionali qualunque esistono infiniti altri punti di tale tipo; infatti dati due punti P e Q qualunque è sempre possibile trovare un nuovo punto X compreso fra P e Q: basta fare la media: X = (P + Q) / 2. Questa operazione si può ripetere quante volte si voglia, quindi non ha proprio senso chiedere quanti punti razionali esistano nell'intervallo da essi marcato.

Tuttavia, per quanto densi, i numeri razionali non "riempiono" completamente la retta. Infatti, il punto R = radice di due è bensì rappresentabile sopra la retta (basta portare su di essa, a partire dall'origine, la diagonale del quadrato costruito sul segmento [0-1]. Esso però non è un razionale, come abbiamo dimostrato nei capitoli precedenti.



Usando metodi geometrici si possono tracciare sulla retta molti numeri irrazionali, ma non tutti. Per esempio è rimasto irrisolto, dai tempi dell’antica Grecia, il problema della "duplicazione del cubo": per fare questo sarebbe necessario determinare un segmento corrispondente alla radice cubica di due (la cosa si è dimostrata impossibile, almeno con l’ausilio dei mezzi elementari della geometria classica: la riga e il compasso).

Uno dei miti che circondano il problema della duplicazione del cubo è il seguente. Gli abitanti di Delo, interrogato l'oracolo di Apollo sul modo di liberarsi dalla peste, ricevettero l'ordine di costruire un altare, di forma cubica, dal volume doppio rispetto a quello esistente. Vista l’impossibilità di determinare con riga e compasso un segmento proporzionale alla radice cubica di due, questo altare non deve essere stato mai costruito; chissà allora gli abitanti di Delo come avranno fatto a liberarsi della peste...

Indipendentemente dal fatto che molti punti non possano essere tracciare con i metodi classici, possiamo immaginare comunque di identificare sulla nostra retta tutti i numeri algebrici, ovvero quelli del tipo di cui abbiamo parlato nel capitolo precedente: sono quei numeri che si ottengono risolvendo una qualsiasi equazione polinomiale di qualsiasi grado. Ma neanche così riusciamo a coprire tutta la retta, infatti...   ▲  

I numeri Trascendenti

... esiste una classe di numeri detti "trascendenti", che sono gli irrazionali non algebrici. Il caso più noto è quello di pi greco: dall’antichità si cercava di capire che razza di numero fosse, e se si potesse fare la quadratura del cerchio (disegnare, con riga e compasso, un quadrato di area pari a quella di un cerchio dato). Ne parla anche Dante nel canto XXXIII del Paradiso:

Qual è ‘l geometra che tutto s'affige
per misurar lo cerchio, e non ritrova...

Insomma ce n’è voluto del bello e del buono, ma finalmente (solo!) nel 1882 Ferdinand von Lindemann (1852-1939) dimostrò la trascendenza di pi greco chiudendo definitivamente la questione della quadratura del cerchio. In quegli anni furono trovati molti altri numeri di questo tipo, anche se non è per niente facile dimostrarne la trascendenza.   ▲  

I numeri Reali

Finalmente possiamo definire una nuova classe di numeri: i cosiddetti numeri reali. È l’insieme di tutti i numeri, naturali, razionali, irrazionali e trascendenti. Come ho accennato, Dedekind ha dimostrato la possibilità di mettere in corrispondenza biunivoca i punti della retta con i numeri reali; siccome i punti della retta costituiscono qualcosa di continuo, anche i numeri reali identificano un insieme che possiamo definire "continuo".

Rimane però la questione se tutti questi numeri trascendenti, o meglio i numeri reali, possano essere ancora "contati" oppure no, ovvero se l’insieme dei numeri reali abbia cardinalità maggiore rispetto all’insieme dei numeri naturali.

Il problema è che non si può fare un elenco di tutti i possibili numeri trascendenti; alcuni sono i risultati del calcolo di funzioni trigonometriche, logaritmiche e altre cose del genere, ma a molti, a moltissimi altri non sapremmo neanche dare un significato matematico. Mi spiego meglio: se è vero che a un numero decimale periodico so sempre assegnare una frazione generatrice, quindi riesco sempre a capirne la natura, di un numero reale non posso sapere mai da quale espressione matematica è stato ricavato; per farlo dovrei conoscere tutti, ma proprio tutti i suoi infiniti decimali.

Faccio un esempio: se vedo il numero 3,14... a me viene subito in mente pi greco. Ma per sapere che questo numero è davvero pi greco dovrei conoscerne tutti i decimali, ma proprio tutti; basterebbe una cifra diversa alla miliardesima posizione decimale per farlo diventare qualcosa di diverso!

Insomma abbiamo trovato una nuova classe di numeri che è impossibile da catalogare. Saremo mica riusciti a trovare una classe di numeri che non sia più "contabile", ovvero tale da non poter essere messa in corrispondenza biunivoca con i numeri naturali?   ▲  

Il "Continuo"



La risposta finalmente è... Sì. Georg Cantor (1845-1918) ha trovato il modo per dimostrare che ci sono numeri che non possono essere contati. La dimostrazione dettagliata la fornisco più sotto, qui mi limito a descriverne il funzionamento. È una dimostrazione per assurdo: si immagina di avere stilato un elenco numerato di tutti i numeri reali compresi fra 0 e 1, ciascuno con i suoi infiniti decimali. Cantor riesce a creare un nuovo numero, diverso da tutti gli altri: in questo modo contraddice l’ipotesi di partenza (quella secondo cui ogni numero reale era rappresentato nell’insieme iniziale).

Eccoci al punto: abbiamo finalmente un insieme che non può avere cardinalità Aleph-0 perché ha almeno un elemento che sfugge al conteggio. All’insieme di tutti i numeri reali quindi si assegna la cardinalità c (la lettera c è stata scelta perché questo insieme indica il "continuo"). Per ora sappiamo che c è sicuramente maggiore di Aleph-0... ma gli sviluppi che conseguiranno da questa scoperta richiedono un intero capitolo di questa storia (il prossimo).   ▲  

Potenza del Continuo

Cominciamo ad analizzare questo c. Intanto proviamo a vedere se un segmento lungo ha più punti di un segmento più corto: la risposta è no, in quanto si può sempre dimostrare la corrispondenza biunivoca fra i punti di due segmenti di lunghezza diversa (ciascun punto a del segmento [0-1] ha il suo corrispondente A nel segmento [0-2]).

#1


Proviamo ora a vedere se una retta di lunghezza infinita ha più punti di un segmento finito: un’altra volta la risposta è no, in quanto anche in questo caso si dimostra lo stesso tipo di corrispondenza. La dimostrazione si fa con il disegno qui sotto: si mettono in corrispondenza i punti di un semicerchio che ha centro in P con i punti della retta sottostante. A ogni punto del semicerchio corrisponde un punto della retta infinita: A-a, B-b, e C-c con c che evidentemente è ben fuori dal disegno, sulla sinistra.

#2


Ecco un risultato interessante: l’insieme dei punti di un segmento unitario (o l’insieme dei numeri reali nel campo [0-1]) ha la stessa potenza dei punti di una retta infinita (o dell’insieme di tutti i numeri reali).

Ma non finisce qui: proviamo a vedere se una superficie finita ha più punti di un segmento finito: ancora la risposta è no! Proviamo a considerare i punti di un quadrato unitario. Ogni suo punto può essere identificato da una coppia di coordinate X e Y comprese fra 0 e 1:

#3


A partire dai numeri che definiscono le coordinate X e Y posso creare un nuovo numero R intercalando le cifre dei decimi, poi quelle dei centesimi, poi dei millesimi e così via. In questo modo avrò un unico numero che esprime la coppia di coordinate, anch’esso compreso fra 0 e 1: c’è quindi una corrispondenza biunivoca fra ciascuna coppia di coordinate e un numero reale. Faccio un esempio pratico:



Dal numero R riesco senza problemi a ricavare le due coordinate X e Y: le cifre decimali di ordine dispari di R daranno la coordinata X; le cifre di ordine pari la coordinata Y.

Ripetendo il metodo descritto dalla figura #2 per le superfici invece che per segmenti/rette posso dimostrare che c’è una corrispondenza biunivoca anche fra i punti di una superficie finita con i punti dell’intero piano infinito. E applicando il sistema dimostrato nel disegno #3 posso definire un nuovo numero R che, invece di partire da una coppia di coordinate X e Y, usi tre coordinate X Y e Z di uno spazio tridimensionale.

Allora c, il numero cardinale che indica la potenza del continuo, può essere utilizzato per definire la potenza degli insiemi di tutti i numeri reali, dei punti del segmento, della retta, del piano, dello spazio... eccetera eccetera!

La dimostrazione di Cantor

Descrivo qui la "dimostrazione diagonale di Cantor", con alcune semplificazioni per non appesantirne la lettura. Chi fosse interessato può leggere questo articolo su wikipedia.

Supponiamo per assurdo che l'intervallo dei numeri compresi fra 0 e 1 sia numerabile. Questo significa che gli elementi dell'intervallo possono essere posti in corrispondenza biunivoca con i numeri naturali dando luogo ad una successione di numeri reali R1, R2, R3, ... che esaurisce tutti i numeri reali compresi tra 0 e 1.

Possiamo rappresentare ciascun numero della successione in forma decimale e visualizzare la successione di numeri reali come una matrice infinita che avrà più o meno quest'aspetto:

R1 = 0 . 5 1 0 5 1 1 0 ...
R2 = 0 . 4 1 3 2 0 4 3 ...
R3 = 0 . 8 2 4 5 0 2 6 ...
R4 = 0 . 2 3 3 0 1 2 6 ...
R5 = 0 . 4 1 0 7 2 4 6 ...
R6 = 0 . 9 9 3 7 8 3 8 ...
R7 = 0 . 0 1 0 5 1 3 5 ...
...

In questa tabella ho indicate in grassetto le cifre che compaiono sulla diagonale (la prima cifra decimale del primo numero, la seconda del secondo, e così via). Costruiamo ora un nuovo numero reale X che abbia tutte le cifre differenti dalla sequenza sulla diagonale. Si procede nel seguente modo: se una delle cifre che compare sulla diagonale è 5, la sostituiamo con un 4; in tutti gli altri casi la sostituiamo con un 5 (la scelta delle cifre 4 e 5 è arbitraria). Nell'esempio otteniamo:

X = 0 . 4 5 5 5 5 5 4 ...

All'inizio dell'argomento avevamo supposto che la nostra lista dei numeri enumerasse tutti i numeri reali compresi tra 0 e 1, quindi dovremmo avere uno dei numeri R, diciamo l'ennesimo, per cui Rn = X. A questo punto emerge una contraddizione: per come abbiamo costruito il numero X, l'ennesima cifra di X dovrebbe essere diversa dall'ennesima cifra del numero Rn. Questo è impossibile, e ne segue che l'ipotesi di partenza è falsa e cioè che l'intervallo dei numeri compreso fra 0 e 1 non è numerabile.   ▲  

Prossimo capitolo: L'ipotesi del Continuo