Numeri Transfiniti: il Continuo

Sommario:

+ I numeri Naturali
+ Ancora Aleph-zero
+ Il contesto storico
– Oltre Aleph-zero: il Continuo
      La Linea di Euclide
      La Retta dei numeri
      I numeri Trascendenti
      I numeri Reali
      Il "Continuo"
      Potenza del Continuo
      La dimostrazione di Cantor
+ L'ipotesi del Continuo

La Linea di Euclide

Un punto è ciò che è privo di parti

Credo che sia la più celebre definizione della geometria: è la prima fra quelle elencate da Euclide nei suoi "Elementi". Le successive tre invece sono:

Una linea è una lunghezza senza larghezza
Le estremità di una linea sono punti
La retta è quella linea che giace sui suoi punti in modo uniforme

Se fossi uno che non ne sa niente, non so se da queste definizioni, soprattutto la quarta, saprei immaginare cos’è una linea retta... meno male che tutti noi abbiamo almeno una volta tracciato una linea con righello e lapis! Però mi sembrano interessanti un paio di considerazioni:

— Una linea non solo "non ha larghezza", ma è fatta da punti "che sono privi di parti": questi punti sono quindi piccoli, piccolissimi, diciamo pure infinitesimali; se potessi tracciare una linea ideale, essa risulterebbe assolutamente invisibile!

— Il fatto che i punti siano privi di parti, fa sì che per costituire una linea continua tali punti debbano essere accostati l’uno all’altro con una densità estrema, pena il veder comparire dei "buchi". Vedremo in seguito ricomparire i concetti di densità e continuità.   ▲  

La Retta dei numeri

Lavorando con rette e numeri, Richard Dedekind (1831-1916) ha costruito una teoria rigorosa che ci limiteremo a descrivere in modo intuitivo: una retta può essere utilizzata per rappresentare tutti i numeri esistenti. In pratica si prende una retta (di lunghezza infinita), si traccia un punto che sarà l’origine al quale assegnare il valore zero; poi si stabilisce un segmento unitario, e riportandolo sulla retta quante volte su vuole, otteniamo a destra dello zero i numeri naturali positivi, a sinistra i numeri negativi.



Naturalmente i soli punti identificati dai numeri interi non danno luogo a una linea continua, ma solo a una serie di punti ben spaziati l’uno dall’altro. Allora possiamo aggiungere i numeri razionali: dividendo ogni segmento unitario in n parti uguali, si ottiene la rappresentazione delle frazioni di denominatore uguale ad n; ripetendo l’operazione per ogni n, si ottengono infiniti punti della retta, che rappresentano numeri razionali.



Tali punti sono distribuiti in forma "densa", nel senso che tra due punti razionali qualunque esistono infiniti altri punti di tale tipo; infatti dati due punti P e Q qualunque è sempre possibile trovare un nuovo punto X compreso fra P e Q: basta fare la media: X = (P + Q) / 2. Questa operazione si può ripetere quante volte si voglia, quindi non ha proprio senso chiedere quanti punti razionali esistano nell'intervallo da essi marcato.

Tuttavia, per quanto densi, i numeri razionali non "riempiono" completamente la retta. Infatti, il punto R = radice di due è bensì rappresentabile sopra la retta (basta portare su di essa, a partire dall'origine, la diagonale del quadrato costruito sul segmento [0-1]. Esso però non è un razionale, come abbiamo dimostrato nei capitoli precedenti.



Usando metodi geometrici si possono tracciare sulla retta molti numeri irrazionali, ma non tutti. Per esempio è rimasto irrisolto, dai tempi dell’antica Grecia, il problema della "duplicazione del cubo": per fare questo sarebbe necessario determinare un segmento corrispondente alla radice cubica di due (la cosa si è dimostrata impossibile, almeno con l’ausilio dei mezzi elementari della geometria classica: la riga e il compasso).

Uno dei miti che circondano il problema della duplicazione del cubo è il seguente. Gli abitanti di Delo, interrogato l'oracolo di Apollo sul modo di liberarsi dalla peste, ricevettero l'ordine di costruire un altare, di forma cubica, dal volume doppio rispetto a quello esistente. Vista l’impossibilità di determinare con riga e compasso un segmento proporzionale alla radice cubica di due, questo altare non deve essere stato mai costruito; chissà allora gli abitanti di Delo come avranno fatto a liberarsi della peste...

Indipendentemente dal fatto che molti punti non possano essere tracciare con i metodi classici, possiamo immaginare comunque di identificare sulla nostra retta tutti i numeri algebrici, ovvero quelli del tipo di cui abbiamo parlato nel capitolo precedente: sono quei numeri che si ottengono risolvendo una qualsiasi equazione polinomiale di qualsiasi grado. Ma neanche così riusciamo a coprire tutta la retta, infatti...   ▲  

I numeri Trascendenti

... esiste una classe di numeri detti "trascendenti", che sono gli irrazionali non algebrici. Il caso più noto è quello di pi greco: dall’antichità si cercava di capire che razza di numero fosse, e se si potesse fare la quadratura del cerchio (disegnare, con riga e compasso, un quadrato di area pari a quella di un cerchio dato). Ne parla anche Dante nel canto XXXIII del Paradiso:

Qual è ‘l geometra che tutto s'affige
per misurar lo cerchio, e non ritrova...

Insomma ce n’è voluto del bello e del buono, ma finalmente (solo!) nel 1882 Ferdinand von Lindemann (1852-1939) dimostrò la trascendenza di pi greco chiudendo definitivamente la questione della quadratura del cerchio. In quegli anni furono trovati molti altri numeri di questo tipo, anche se non è per niente facile dimostrarne la trascendenza.   ▲  

I numeri Reali

Finalmente possiamo definire una nuova classe di numeri: i cosiddetti numeri reali. È l’insieme di tutti i numeri, naturali, razionali, irrazionali e trascendenti. Come ho accennato, Dedekind ha dimostrato la possibilità di mettere in corrispondenza biunivoca i punti della retta con i numeri reali; siccome i punti della retta costituiscono qualcosa di continuo, anche i numeri reali identificano un insieme che possiamo definire "continuo".

Rimane però la questione se tutti questi numeri trascendenti, o meglio i numeri reali, possano essere ancora "contati" oppure no, ovvero se l’insieme dei numeri reali abbia cardinalità maggiore rispetto all’insieme dei numeri naturali.

Il problema è che non si può fare un elenco di tutti i possibili numeri trascendenti; alcuni sono i risultati del calcolo di funzioni trigonometriche, logaritmiche e altre cose del genere, ma a molti, a moltissimi altri non sapremmo neanche dare un significato matematico. Mi spiego meglio: se è vero che a un numero decimale periodico so sempre assegnare una frazione generatrice, quindi riesco sempre a capirne la natura, di un numero reale non posso sapere mai da quale espressione matematica è stato ricavato; per farlo dovrei conoscere tutti, ma proprio tutti i suoi infiniti decimali.

Faccio un esempio: se vedo il numero 3,14... a me viene subito in mente pi greco. Ma per sapere che questo numero è davvero pi greco dovrei conoscerne tutti i decimali, ma proprio tutti; basterebbe una cifra diversa alla miliardesima posizione decimale per farlo diventare qualcosa di diverso!

Insomma abbiamo trovato una nuova classe di numeri che è impossibile da catalogare. Saremo mica riusciti a trovare una classe di numeri che non sia più "contabile", ovvero tale da non poter essere messa in corrispondenza biunivoca con i numeri naturali?   ▲  

Il "Continuo"



La risposta finalmente è... Sì. Georg Cantor (1845-1918) ha trovato il modo per dimostrare che ci sono numeri che non possono essere contati. La dimostrazione dettagliata la fornisco più sotto, qui mi limito a descriverne il funzionamento. È una dimostrazione per assurdo: si immagina di avere stilato un elenco numerato di tutti i numeri reali compresi fra 0 e 1, ciascuno con i suoi infiniti decimali. Cantor riesce a creare un nuovo numero, diverso da tutti gli altri: in questo modo contraddice l’ipotesi di partenza (quella secondo cui ogni numero reale era rappresentato nell’insieme iniziale).

Eccoci al punto: abbiamo finalmente un insieme che non può avere cardinalità Aleph-0 perché ha almeno un elemento che sfugge al conteggio. All’insieme di tutti i numeri reali quindi si assegna la cardinalità c (la lettera c è stata scelta perché questo insieme indica il "continuo"). Per ora sappiamo che c è sicuramente maggiore di Aleph-0... ma gli sviluppi che conseguiranno da questa scoperta richiedono un intero capitolo di questa storia (il prossimo).   ▲  

Potenza del Continuo

Cominciamo ad analizzare questo c. Intanto proviamo a vedere se un segmento lungo ha più punti di un segmento più corto: la risposta è no, in quanto si può sempre dimostrare la corrispondenza biunivoca fra i punti di due segmenti di lunghezza diversa (ciascun punto a del segmento [0-1] ha il suo corrispondente A nel segmento [0-2]).

#1


Proviamo ora a vedere se una retta di lunghezza infinita ha più punti di un segmento finito: un’altra volta la risposta è no, in quanto anche in questo caso si dimostra lo stesso tipo di corrispondenza. La dimostrazione si fa con il disegno qui sotto: si mettono in corrispondenza i punti di un semicerchio che ha centro in P con i punti della retta sottostante. A ogni punto del semicerchio corrisponde un punto della retta infinita: A-a, B-b, e C-c con c che evidentemente è ben fuori dal disegno, sulla sinistra.

#2


Ecco un risultato interessante: l’insieme dei punti di un segmento unitario (o l’insieme dei numeri reali nel campo [0-1]) ha la stessa potenza dei punti di una retta infinita (o dell’insieme di tutti i numeri reali).

Ma non finisce qui: proviamo a vedere se una superficie finita ha più punti di un segmento finito: ancora la risposta è no! Proviamo a considerare i punti di un quadrato unitario. Ogni suo punto può essere identificato da una coppia di coordinate X e Y comprese fra 0 e 1:

#3


A partire dai numeri che definiscono le coordinate X e Y posso creare un nuovo numero R intercalando le cifre dei decimi, poi quelle dei centesimi, poi dei millesimi e così via. In questo modo avrò un unico numero che esprime la coppia di coordinate, anch’esso compreso fra 0 e 1: c’è quindi una corrispondenza biunivoca fra ciascuna coppia di coordinate e un numero reale. Faccio un esempio pratico:



Dal numero R riesco senza problemi a ricavare le due coordinate X e Y: le cifre decimali di ordine dispari di R daranno la coordinata X; le cifre di ordine pari la coordinata Y.

Ripetendo il metodo descritto dalla figura #2 per le superfici invece che per segmenti/rette posso dimostrare che c’è una corrispondenza biunivoca anche fra i punti di una superficie finita con i punti dell’intero piano infinito. E applicando il sistema dimostrato nel disegno #3 posso definire un nuovo numero R che, invece di partire da una coppia di coordinate X e Y, usi tre coordinate X Y e Z di uno spazio tridimensionale.

Allora c, il numero cardinale che indica la potenza del continuo, può essere utilizzato per definire la potenza degli insiemi di tutti i numeri reali, dei punti del segmento, della retta, del piano, dello spazio... eccetera eccetera!

La dimostrazione di Cantor

Descrivo qui la "dimostrazione diagonale di Cantor", con alcune semplificazioni per non appesantirne la lettura. Chi fosse interessato può leggere questo articolo su wikipedia.

Supponiamo per assurdo che l'intervallo dei numeri compresi fra 0 e 1 sia numerabile. Questo significa che gli elementi dell'intervallo possono essere posti in corrispondenza biunivoca con i numeri naturali dando luogo ad una successione di numeri reali R1, R2, R3, ... che esaurisce tutti i numeri reali compresi tra 0 e 1.

Possiamo rappresentare ciascun numero della successione in forma decimale e visualizzare la successione di numeri reali come una matrice infinita che avrà più o meno quest'aspetto:

R1 = 0 . 5 1 0 5 1 1 0 ...
R2 = 0 . 4 1 3 2 0 4 3 ...
R3 = 0 . 8 2 4 5 0 2 6 ...
R4 = 0 . 2 3 3 0 1 2 6 ...
R5 = 0 . 4 1 0 7 2 4 6 ...
R6 = 0 . 9 9 3 7 8 3 8 ...
R7 = 0 . 0 1 0 5 1 3 5 ...
...

In questa tabella ho indicate in grassetto le cifre che compaiono sulla diagonale (la prima cifra decimale del primo numero, la seconda del secondo, e così via). Costruiamo ora un nuovo numero reale X che abbia tutte le cifre differenti dalla sequenza sulla diagonale. Si procede nel seguente modo: se una delle cifre che compare sulla diagonale è 5, la sostituiamo con un 4; in tutti gli altri casi la sostituiamo con un 5 (la scelta delle cifre 4 e 5 è arbitraria). Nell'esempio otteniamo:

X = 0 . 4 5 5 5 5 5 4 ...

All'inizio dell'argomento avevamo supposto che la nostra lista dei numeri enumerasse tutti i numeri reali compresi tra 0 e 1, quindi dovremmo avere uno dei numeri R, diciamo l'ennesimo, per cui Rn = X. A questo punto emerge una contraddizione: per come abbiamo costruito il numero X, l'ennesima cifra di X dovrebbe essere diversa dall'ennesima cifra del numero Rn. Questo è impossibile, e ne segue che l'ipotesi di partenza è falsa e cioè che l'intervallo dei numeri compreso fra 0 e 1 non è numerabile.   ▲  

Prossimo capitolo: L'ipotesi del Continuo

Numeri Transfiniti: l'ipotesi del Continuo

Sommario:

+ I numeri Naturali
+ Ancora Aleph-zero
+ Il contesto storico
+ Oltre Aleph-zero: il Continuo
– L'ipotesi del Continuo
      Numeri transfiniti più grandi
      c & Aleph-uno
      L'ipotesi del Continuo
      Questioni... teologiche!

Riassunto delle puntate precedenti:

— La Cardinalità, o Potenza, dell’insieme dei Numeri Naturali si indica con la sigla Aleph-zero.
— Aleph-zero è il più piccolo Numero Transfinito.
— Esiste un insieme di numeri (i Numeri Reali) che ha Potenza maggiore di Aleph-zero: si tratta del "Continuo", che si indica con la lettera c.

Numeri transfiniti più grandi

Georg Cantor, nel Teorema che porta il suo nome, afferma che dato un insieme di qualsiasi potenza (ovvero contenente un numero qualsiasi di elementi), esiste sempre un insieme di potenza maggiore. Quindi da un punto di vista logico non c’è limite alla potenza o cardinalità degli insiemi infiniti: così come nei Numeri Naturali esiste sempre il successore di qualsiasi numero, anche da qualsiasi insieme infinito si riesce a ricavare un infinito "più grande"; e dato che la potenza degli insiemi infiniti viene identificata con i Numeri Transfiniti (Aleph-zero, Aleph-uno, Aleph-due e così via), è logico dedurre che i Numeri Transfiniti... sono infiniti anch’essi!

Vediamo da vicino questo Teorema di Cantor. Dato un insieme A, la dimostrazione viene fatta prendendone in esame le "parti", ovvero i possibili sottoinsiemi di A: questi ultimi saranno sempre in numero superiore rispetto agli elementi di A.

Iniziamo con un esempio semplice: diciamo che l’insieme A contenga due bocce, una rossa e una blu. Se ci venisse detto di prendere da questo insieme "le bocce che vogliamo", potremmo sceglierne una sola (la rossa o la blu), entrambe (la rossa E la blu), oppure potremmo decidere di non prenderne nessuna. Totale: quattro possibili "parti", o sottoinsiemi, a partire dall’insieme A di due elementi.

Allo stesso modo, se le bocce fossero tre, rossa blu e verde, potremmo sceglierne una soltanto (rossa o blu o verde), due (escludendo la rossa, la blu o la verde), prenderle tutte e tre oppure non prenderne nessuna. Totale: otto sottoinsiemi a partire da un insieme contenente tre elementi.

Le parti, o sottoinsiemi, di un insieme contenente n elementi, sono quindi sempre in numero di 2ⁿ. Infatti 2² = 4, 2³ = 8 (casi già visti); ma anche 2¹ = 2 (se l’insieme ha un solo elemento, possiamo prenderlo o non prenderlo). Infine 2º = 1: se l’insieme è vuoto, possiamo solo scegliere di prenderne una "parte" costituita da un altro insieme vuoto; comunque è una possibilità reale: insomma, da un insieme che ha 0 elementi si può sempre ricavare 1 sottoinsieme (vuoto).



In questa immagine sono rappresentati tutti gli insiemi di cui abbiamo parlato, di 0, 1, 2 e 3 elementi, i cui contenuti sono indicati fra le parentesi graffe in nero; il numero in nero alla loro sinistra indica la potenza, o cardinalità, dei rispettivi insiemi.
I numeri in grigio a destra della riga verticale indicano il numero delle Parti, o dei possibili sottoinsiemi, degli insiemi suddetti: ciascun sottoinsieme è racchiuso fra parentesi graffe di colore nero, mentre le parentesi graffe di colore grigio indicano che ogni espressione a destra della riga nera verticale rappresenta un insieme di insiemi.

Ricapitoliamo quanto detto finora: nessun insieme finito può essere messo in corrispondenza biunivoca con l’insieme delle sue parti (sottoinsiemi), poiché le parti sono sempre in numero maggiore degli elementi dell’insieme.

Resta ora da capire se questo sia vero anche per gli insiemi infiniti. Sembrerebbe ovvio dire di sì; ma abbiamo già visto come, quando si ragiona di infinito, non si può dare niente per scontato: infatti i soli numeri pari, o i fattoriali e qualsiasi altra serie infinita di numeri apparentemente meno numerosi; e i numeri razionali, i numeri algebrici e altre serie via via "più numerose", hanno tutte la potenza dei Numeri Naturali, ovvero danno tutti luogo a insiemi equipotenti di cardinalità Aleph-zero. Non potrebbe allora essere che abbia la stessa cardinalità anche l’insieme delle parti (sottoinsiemi) dei Numeri Naturali? Ovvero, non sarà che le parti di un insieme di potenza Aleph-zero possano essere tranquillamente contate?

La dimostrazione di Cantor è assolutamente simbolica (direi "astratta"): per far capire come funziona ne illustro solo un esempio "pratico", più facilmente comprensibile.

Ammettiamo di creare l’insieme B di tutti i possibili sottoinsiemi dei Numeri Naturali A, e di averli messi in corrispondenza biunivoca con i Numeri Naturali stessi. La cosa potrebbe essere così:

A — B
-----------------------------------
1 — { 1, 2 }
2 — { 3, 5, 6 }
3 — { 7 }
4 — { 1, 2, 4, 8, 9 }
5 — { 2, 6, 7 }
6 — { 5, 6, 7, 8 }
....................................

A sinistra l’insieme dei Numeri Naturali (identificato in alto dalla lettera A); a destra l’insieme (identificato dalla lettera B) di tutti i possibili sottoinsiemi di A (le parentesi graffe come al solito indicano un insieme); i trattini indicano la corrispondenza biunivoca fra i membri degli insiemi A e B.

Possiamo ora creare un particolare sottoinsieme dei Numeri Naturali: questo dovrà contenere solo quei numeri che non sono presenti nel loro sottoinsieme corrispondente. Quindi (vedi la tabella sopra): il numero 1 è presente nell’insieme { 1, 2 } e non ne farà parte, mentre il 2 non è presente in { 3, 5, 6 }; allora i primi numeri di questo nuovo insieme saranno { 2, 3, 5 ... }.

Questo nuovo insieme, identifichiamolo con la lettera Z, contenendo solo Numeri Naturali, è un sottoinsieme dei Numeri Naturali stessi, quindi fa senz’altro parte di B (che è l’insieme di tutti i possibili sottoinsiemi dei Numeri Naturali), quindi deve comparire da qualche parte nell’elenco di destra della tabella mostrata sopra; di conseguenza, sarà anche associato a un qualche Numero Naturale, tra quelli presenti nell’elenco di sinistra: diciamo che tale numero sia Y.

Ora ci dobbiamo porre la seguente domanda: il numero Y fa o non fa parte dell’insieme Z, ovvero del suo insieme corrispondente?

— Se diciamo che Y è compreso in Z, in realtà non dovrebbe farne parte (per come è costruito Z);

— Se diciamo che Y non è compreso in Z, in realtà dovrebbe farne parte (per come è costruito Z).

Ecco quindi una contraddizione, che ci fa capire che il numero Y non può esistere. Allora esiste almeno un elemento B che non può essere messo in corrispondenza con un elemento di A: l’insieme B quindi ha potenza maggiore dell’insieme A.

Questo nuovo insieme ha cardinalità Aleph-uno; e da questo, applicando lo stesso procedimento, potremo ricavare altri insiemi di cardinalità Aleph-due, Aleph-tre... ecc..   ▲  

c & Aleph-uno

Ricapitoliamo:

— Aleph-zero è la cardinalità dell’insieme dei Numeri Naturali
— c è la cardinalità del Continuo
— Aleph-uno è la cardinalità dell’insieme delle parti di un insieme di potenza Aleph-zero

Domanda: che rapporto c’è fra c e Aleph-uno? Ebbene, si può dimostrare che rappresentano insiemi assolutamente equipotenti, quindi c = Aleph-uno.

Riprendiamo in esame gli insiemi definiti più sopra: A (dei Numeri Naturali) e B (delle parti, o sottoinsiemi, dei Numeri Naturali stessi). Ogni elemento di B è un insieme costituito da uno, o più (o tutti, o nessuno) elemento di A. Associando a ciascuno dei possibili elementi di un sottoinsieme di B due valori: 0 – assente, 1 – presente, possiamo tradurre gli esempi mostrati sopra nel seguente modo:

{ 1, 2 } — 110000000... (presenti solo primo e secondo elemento)
{ 3, 5, 6 } — 001011000... (presenti terzo, quindi e sesto)
{ 7 } — 000000100... (presente solo il settimo)
{ 1, 2, 4, 8, 9 } — 110100011... (presenti il primo, secondo, quarto, ottavo e nono)
................

Così come gli elementi di B erano tutte le possibili combinazioni (sottoinsiemi) degli elementi di A, così queste serie di cifre 0 e 1 rappresenteranno tute le possibili combinazione di zeri e uni, impacchettati in "stringhe" di lunghezza infinita.

Ora possiamo fare il passo conclusivo: davanti a queste stringhe di zeri e uni mettiamo un "zero-virgola".

0,110000000
0,001011000
0,000000100
0,110100011

Tutti questi possono essere intesi come numeri frazionari espressi nel sistema binario. A differenza dei numeri in notazione decimale, in cui la prima cifra dopo la virgola rappresenta i decimi, la seconda i centesimi, la terza i millesimi e così via, nei numeri binari la prima cifra rappresenta metà, la seconda un quarto, la terza un ottavo e così via. Quindi i numeri qui sopra valgono:

0,110000000 — 1/2 + 1/4 = 0,75
0,001011000 — 1/8 + 1/32 + 1/64 = 0,171875
0,000000100 — 1/128 = 0,0078125
0,110100011 — 1/2 + 1/4 + 1/16 + 1/256 + 1/512 = 0,818359375

Abbiamo convertito quindi tutti i possibili sottoinsiemi dei Numeri Naturali in tutte le possibili stringhe di lunghezza infinita di zeri e uni. Nella loro rappresentazione binaria, queste stringhe di zeri e uni rappresentano ogni possibile Numero Reale compreso fra zero e uno: ecco quindi com’è che la potenza, o cardinalità, dell’insieme delle Parti (sottoinsiemi) dei Numeri Naturali è esattamente la stessa del Continuo, ovvero dell’insieme di tutti i Numeri Reali compresi fra zero e uno.   ▲  

L'ipotesi del Continuo

Adesso viene una domanda molto interessante. Siamo sicuri che questi numeri trasnfiniti c = Aleph-uno siano l'immediato successore di Aleph-zero?

Possiamo porre la domanda in un altro modo. Si potrà mai trovare un insieme infinito che abbia una potenza strettamente compresa fra gli insiemi dei Numeri Naturali e dei Numeri Reali? Ovvero, un insieme che non possa essere contato dai Numeri Reali, ma che non possa a sua volta "contare" il Continuo?

Cantor ha passato gli ultimi anni della sua vita a cercare di dimostrare questa che i matematici chiamano "ipotesi del Continuo", cioè che non esista nessun insieme infinito compreso fra quelli dei numeri naturali e dei numeri reali, ma senza riuscirci. E abbiamo già accennato come David Hilbert abbia incluso proprio questo teorema al primo posto fra i suoi "23 problemi" al Congresso di Parigi del 1900.

Il problema si è rivelato davvero difficile da aggredire, tant’è che solo nel 1940 Kurt Gödel (toh, chi si rivede!) ha dimostrato che non è dimostrabile la falsità dell’ipotesi del Continuo. Sembra un passo incoraggiante: se non è possibile che l'ipotesi sia falsa, allora dovrebbe essere vera...

... Invece nel 1963 Paul Cohen ha dimostrato che è impossibile dimostrare che l’ipotesi del Continuo sia vera! Ecco quindi saltar fuori un’antinomia, un enunciato che porta a conclusioni contraddittorie! Solo che, a differenza del paradosso di Russell, che rivelava un’antinomia in una cosa che sembra (almeno a noi comuni mortali) più una pignoleria che un problema reale, adesso l’antinomia salta fuori dallo studio dei numeri, cioè al livello più basilare di tutto ciò che è matematica.

L'unione dei risultati di Gödel e di Cohen diviene un esempio "pratico" di quelle proposizioni indecidibili che Gödel aveva precedentemente dimostrato esistere nel suo Secondo Teorema di Incompletezza. Per il suo risultato, Cohen ricevette nel 1966 la Medaglia Fields, ovvero la massima onorificenza per matematici di età inferiore ai quarant'anni.

A proposito delle dimostrazioni di Gödel e Cohen, ho chiesto lumi a un professore universitario mio amico che insegna proprio questo genere di cose. In sostanza la domanda era se tali dimostrazioni potessero essere comprese anche da uno come me, non del tutto digiuno di matematica, ma pur sempre un dilettante. La risposta è stata le seguente:

Le dimostrazioni di Gödel e Cohen sono difficili anche per me... Le idee le conosco, ma certi dettagli tecnici nemmeno io li afferro completamente. Certo, studiandoli per bene, penso che ce la farei!

L'idea di Gödel si puo' anche descrivere abbastanza facilmente, ma dimostrarla con tutti i crismi non è una passeggiata. L'idea della dimostrazione di Cohen invece si puo' dare solo vagamente e, per apprezzarla appieno, bisognerebbe entrare in dettagli sofisticati; dare poi la dimostrazione completa... non ne parliamo!

Ho deciso di lasciar perdere...

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L'insieme di idee che i personaggi di cui ho parlato in queste pagine è riuscito a mettere insieme è una delle vette massime raggiunte dall'umanità. Non ha importanza se il risultato alla fine sia un apparente "nulla di fatto", con queste antinomie che saltano fuori da tutte le parti. Sono assolutamente d'accordo con Carl Jacobi, che scrisse:

"L'unico scopo della scienza è l'onore dello spirito umano; a questo titolo una questione sui numeri vale quanto una sul sistema del mondo"

La potenza dei procedimenti logici avviata da Cantor con il suo approccio agli insiemi infiniti si è rivelata davvero formidabile, anche se molti matematici suoi contemporanei non l’hanno subito apprezzata. In mezzo a dispute anche aspre su questo argomento, David Hilbert ebbe a dire:

"Nessuno ci scaccerà dal Paradiso che Cantor ci ha procurato!"   ▲  

Questioni... teologiche!

Voglio finire questa dissertazione con un paio di aneddoti che riguardano Galileo e Cantor alle prese con l'infinito, questo concetto non solo numerico, ma anche filosofico e, soprattutto, teologico.

Il concetto di infinito inizia ad essere sfruttato in teologia da Nicola Cusano (1401-1464) che confronta in varie occasioni l’infinità di Dio con la finitezza degli uomini, e l’intelletto (finito) con la Verità (infinita). A lungo andare quindi l’infinito ha condensato un sacco di attributi divini... diventando un termine da usare con le molle.

Come abbiamo visto Galileo Galilei si è imbattuto in alcuni ragionamenti logici che riguardano l’infinito; ma la sua mancanza di coraggio nell’arrivare alle loro estreme conseguenze forse è da ascrivere al timore di dare altri argomenti all’inquisizione... con cui aveva già i suoi bei problemi! Non va dimenticato che pochi anni prima, nel 1600, Giordano Bruno era stato condannato al rogo anche per aver detto "È dunque l'universo uno, infinito, immobile...", mentre secondo l’inquisizione (il cardinale Roberto Bellarmino, Dottore della Chiesa, è quello che condannò sia Giordano Bruno che Galileo) l’universo è finito e gira, mentre è la terra a stare immobile.

Anche Cantor si pose qualche problema al momento di divulgare le sue teorie sugli insiemi infiniti, soprattutto per quanto riguarda l’esistenza di infiniti di varia grandezza. Da buon cristiano si chiese se usare il termine infinito non avrebbe disturbato la gerarchia ecclesiastica; era la fine dell'ottocento, non c'era più pericolo di andare al rogo, però volle comunque sapere che cosa avrebbe pensato di questo fatto la gerarchia cattolica. Andò in Vaticano, portò i suoi lavori al Santo Uffizio, che era governato da un cardinale tedesco, a cui disse: "Eminenza io ho qui lavori di matematica che mi dicono che ci sono più infiniti, in realtà tanti infiniti". Il cardinale disse: "Insomma io la matematica non la conosco... mi lasci i suoi lavori, che li faccio studiare ai miei segretari".

I segretari erano dei domenicani, che si presero due anni, perché ovviamente hanno dovuto cominciare a studiare la teoria degli insiemi da zero. Dopo due anni dissero al cardinale: "Secondo noi non c'è problema, non c'è pericolo per la fede". Allora Cantor venne convocato in Vaticano e il cardinale del Santo Uffizio gli disse: "Guardi lei può parlare di questi infiniti, purché non li chiami infiniti, perché effettivamente questo darebbe una brutta idea teologica, cioè farebbe una connessione con la divinità". Allora Cantor scelse il nome "transfiniti"; ma, per ironia della sorte, i matematici preferiscono chiamarli con il nome di... numeri Cardinali!

Il cardinale del Santo Uffizio si era anche fatto l’idea che dopo tutti questi transfiniti, là, alla fine, ci fosse il vero infinito assoluto. Chiese a Cantor cosa ne pensasse: "Per noi matematici quello non c'è. Non esiste un infinito assoluto per i matematici, perché ciò sarebbe contraddittorio". Al che il cardinale rispose: "Va bene: quello lì è nostro!".   ▲  

Numeri Transfiniti: Aleph-zero

Sommario:

+ I numeri Naturali
– Ancora Aleph-zero
      Numeri Razionali
      Numeri Irrazionali
      Numeri Algebrici
      Numeri Negativi
      Irrazionalità di √2
      Irrazionalità delle radici non intere
+ Il contesto storico
+ Oltre Aleph-zero: il Continuo
+ L'ipotesi del Continuo

Ancora Aleph-zero

Nel primo capitolo di questa "scorribanda" fra gli insiemi infiniti abbiamo scoperto che non si trovano, diciamo così, insiemi infiniti "piccoli". Detto in termini più precisi: non esistono insiemi infiniti di cardinalità, o potenza, minore dell’insieme dei numeri naturali; la cui cardinalità si identifica con la sigla Aleph-0. Ora vogliamo vedere se riusciamo a trovare insiemi infiniti più grandi di Aleph-0.

Per trovare un insieme "più grande" di quello dei numeri naturali bisogna (tenetevi forte!) trovare "un insieme che abbia una funzione iniettiva rispetto all'insieme dei numeri naturali, ma nessuna corrispondenza biunivoca con esso"! Detto in altre parole: occorre scovare un insieme infinito che contenga alcuni membri (in teoria ne basta anche uno solo), che non possa essere messo in corrispondenza con un qualche elemento dell'insieme dei numeri naturali. Si può dire altresì che gli elementi dell'insieme più grande non potranno essere "contati": solo verificando questa condizione saremo sicuri di aver trovato un insieme di cardinalità maggiore di Aleph-0.   ▲  

Numeri Razionali

Possiamo fare un primo tentativo prendendo in esame i numeri razionali, che sono quelli che si ottengono dal rapporto tra due numeri naturali (il termine "razionale" deriva dal latino "ratio", proprio nel suo significato di rapporto). Ogni numero razionale è il risultato di una divisione a/b in cui a è il numeratore e b il denominatore; b deve ovviamente essere diverso da zero, mentre se abbiamo b=1 il risultato è un numero intero: i numeri interi (naturali) sono quindi un sottoinsieme dei numeri razionali.

Nell’intervallo compreso fra ogni coppia di numeri interi consecutivi posso inserire quanti numeri razionali voglio; qui sotto vi mostro una rappresentazione grafica di questo concetto:



fra i numeri 1 e 2 ho inserito 3/2 (1,5), 4/3 (1,333...), 9/5 (1,8), ovviamente ci sono infinite altre possibilità (ne ho indicate qualcuna con quei punti interrogativi). Calcolando il quoziente fra numeratore e denominatore di ciascuna di queste frazioni si ottiene un numero decimale con un numero finito o addirittura infinito di cifre dopo la virgola (in quest'ultimo caso, come abbiamo imparato alle medie, i decimali saranno periodici).

Ecco, mi vengono in mente almeno tre motivi per cui i numeri razionali dovrebbero essere in quantità maggiore rispetto ai numeri naturali: il fatto che fra ogni coppia di numeri naturali consecutivi posso inserire infinite frazioni; la presenza di tutti quegli infiniti decimali; infine il fatto che ogni numero razionale viene definito da due numeri naturali (numeratore e denominatore). E invece...

#1


Ecco, in questa griglia ho inserito tutte le frazioni possibili e immaginabili: basta cercare il numeratore sull’asse delle X (orizzontale) e il denominatore sull’asse delle Y (verticale); ovviamente lo schema può essere ingrandito a piacimento. Ho inserito anche dei pallini colorati e numerati: il numero 1 accanto alla frazione 1/1, poi 2 per 2/1 e 3 per 1/2, poi ancora 4 per 3/1, 5 per 2/2 e 6 per 1/3, e così via. In questo modo sto "contando" per diagonali successive tutte le frazioni possibili, anche quelle non ridotte ai minimi termini.

Eccoci quindi al punto: siccome i numeri naturali sono in grado di "contare" le frazioni, e quindi i numeri razionali (*), vuol dire che i due insiemi (dei numeri naturali e dei numeri razionali) possono essere messi in corrispondenza biunivoca, quindi hanno la stessa potenza: sempre Aleph-0.

(*) Precisazione: alcune frazioni che compaiono nella griglia #1 danno luogo allo stesso numero naturale (es. 1/1 e 2/2 = 1) o razionale (es. 1/2 e 2/4 = 0,5); per avere numeri razionali tutti diversi l'uno dall'altro dovrei escludere dal conteggio tutte le frazioni non ridotte ai minimi termini.

Escludere le frazioni non ridotte ai minimi termini è una cosa che si può fare, anche se non è facilissima quando numeratore e denominatore diventano molto grandi. Però si tratterebbe di una fatica inutile:

— l'insieme dei numeri naturali è un sottoinsieme dell'insieme dei numeri razionali (che comprende tutti i numeri naturali)

— l'insieme dei numeri razionali è un sottoinsieme dell'insieme delle frazioni, in quanto più frazioni danno luogo allo stesso numero razionale

— nella griglia #1 ho mostrato la corrispondenza biunivoca fra gli insiemi dei numeri naturali e delle frazioni, che sono quindi equipotenti e di cardinalità Aleph-0.

— allora anche l'insieme dei numeri razionali, che è apparentemente "compreso", come potenza, fra gli altri due, non può che avere potenza Aleph-0 (ometto la dimostrazione rigorosa).   ▲  

Numeri Irrazionali

Facciamo un altro tentativo: proviamo con i numeri irrazionali, come la radice quadrata di due. Questo numero ha una lunga storia: per il teorema di Pitagora la radice quadrata di due coincide con la lunghezza della diagonale di un quadrato di lato unitario:



Pitagora era un entusiasta sostenitore della "comprensibilità" dell’universo, nel senso che cercava di "misurarne" i segreti in termini di rapporti. Per esempio aveva studiato le note musicali scoprendo che hanno fra loro delle relazioni "razionali"; aveva anche immaginato il sistema delle "sfere celesti" come supporto per i pianeti e le stelle fisse, sfere sempre in rapporto razionale fra loro; e mescolando le note musicali con le sfere celesti aveva immaginato quella che ancora oggi chiamiamo "armonia delle sfere".

Insomma Pitagora era felicissimo di avere trovato... proprio il teorema di Pitagora! Però ci rimase molto male quando scoprì che la radice quadrata di due non è un numero razionale. Mettetevi nei suoi panni: vuole capire l’universo mondo, scopre un teorema straordinario che lo può aiutare a capirlo meglio, e il primo risultato che trova sfugge al suo criterio su cosa è razionale e cosa non lo è (per la dimostrazione della non razionalità del numero radice di due, vedi sotto). In altre parole: riesce a dimostrare che la radice di due non può essere definita da nessuna frazione a/b, in cui a e b siano numeri interi.

In epoca più moderna è stato dimostrato un teorema molto più generale (vedi ancora sotto), che dice che ogni radice di qualsiasi grado, di qualsiasi numero naturale, può dare come risultato o un numero intero o un numero irrazionale; numeri razionali, mai.

Insomma stiamo scoprendo una quantità enorme di numeri che non sono razionali. Il fatto di non esserlo, vuol dire che la loro rappresentazione decimale non presenterà nessun carattere di periodicità, avendo sequenze infinite di cifre decimali in successione, diciamo così, caotica. Questa cosa trova una facile spiegazione: se ricordate la matematica delle medie, ci avevano insegnato a trovare la "frazione generatrice" dato un qualunque numero decimale periodico, con o senza antiperiodo. Quindi se i numeri irrazionali, come la radice di due, fossero numeri decimali periodici, avrebbero la loro bella frazione generatrice... e allora sarebbero razionali e non più irrazionali.

Questi numeri irrazionali sono degli ottimi candidati per vedere se possono dar luogo a un insieme infinito più grande, ovvero di cardinalità più grande, rispetto all’insieme dei numeri naturali. Ma come ormai vi aspetterete... non è così! Infatti posso usare lo stesso "trucco" usato per i numeri razionali: invece di mettere nel grafico tutte le frazioni possibili, metto tutte le radici possibili. Quindi avrò la riga delle "radici prime" (di fatto, la riga dei numeri naturali); poi la riga delle radici quadrate, delle radici cubiche, poi delle radici quarte, quinte eccetera. E tutte queste radici le potrò numerare per diagonali, come avevo fatto con le frazioni: quindi neanche in questo caso ho ottenuto il mio scopo!

#2


Per le radici di numeri che danno luogo a numeri interi, come radice quadrata di 4 o radice cubica di 27, vale lo stesso discorso fatto qui sopra per i numeri razionali.   ▲  

Numeri Algebrici

C’è un piccolo problema: il nuovo "conteggio" visto sopra lascia fuori i numeri razionali, per esempio la frazione 2/3 non è compresa. Come fare per mettere insieme le due classi di numeri? Beh, basta fare un doppio conteggio. Nella tabella #1 avevamo contato i numeri razionali: se sostituiamo i numeri sotto radice nella tabella #2 con le loro frazioni corrispondenti, otterremo una tabella in cui compaiono tutte le radici (radici di ogni grado) di tutti i numeri i razionali; quindi:

— le radici di primo grado delle frazioni con l’unità al denominatore danno luogo ai numeri naturali;

— le radici di primo grado dei numeri razionali danno luogo ai razionali stessi;

— tutte le radici di secondo, terzo grado e oltre, danno luogo a tutte le radici possibili, dei numeri naturali come dei numeri razionali.

#3


Possiamo immaginare a questo punto di complicare le cose quante volte si vuole: troveremo sempre il modo di "contare" espressioni algebriche sempre più complicate, senza mai trovare un insieme infinito di cardinalità superiore ad Aleph-0!

Nella griglia #3 sto mettendo in corrispondenza i numeri naturali con espressioni del tipo radice ennesima di a/b. Anche qui, molte espressioni possono dar luogo allo stesso numero, intero, razionale o irrazionale che sia; vale comunque lo stesso ragionamento già fatto qui sopra.   ▲  

Numeri Negativi

Ma ora che mi viene in mente, come la mettiamo con lo zero e i numeri negativi? A questo punto è semplice: basta fare una conversione di questo tipo:

1  —    0
2  —    1
3  —  –1
4  —    2
5  —  –2
6  —    3
7  —  –3
...

In sostanza sto mettendo in corrispondenza biunivoca la serie dei numeri naturali (numeri di sinistra) con lo zero e i numeri interi di entrambi i segni (a destra). Naturalmente possiamo sostituire a ogni numero di destra (senza segno) la rispettiva frazione, o radice, o radice di frazione, o qualsiasi altra espressione algebrica che vogliamo!

Da ciò che abbiamo visto in questa e nel capitolo scorso, gli insiemi dei numeri naturali; gli insiemi apparentemente "più piccoli" come i soli numeri pari, o i quadrati, o i numeri fattoriali; e gli insiemi apparentemente "più grandi" come i numeri razionali, irrazionali, e algebrici, anche considerando il segno... tutti questi insiemi sono equipotenti, e hanno cardinalità Aleph-0!   ▲  

Irrazionalità di √2

Questa dimostrazione compare negli "Elementi" di Euclide, ed è basata su un ragionamento per assurdo.

Sia [AB] il lato e [AC] la diagonale di un quadrato, e si supponga che i due segmenti stiano tra loro come la frazione m/n, ridotta ai minimi termini. Allora:

[AC]² : [AB]² = m² : n²

Ma, per il teorema di Pitagora:

[AC]² = 2 ּ [AB]²

E quindi:

m² = 2 ּ n²

Ne consegue che m², e perciò m, è pari. Deve dunque essere dispari il numero n. Poniamo allora

m = 2 ּ q

Allora

m² = 4 ּ q² = 2 ּ n²
2 ּ q² = n²

Di conseguenza n² è pari. È quindi pari anche n, che si è dimostrato dover essere dispari. Ne nasce un’incompatibilità che prova l’asserto.   ▲  

Irrazionalità delle radici non intere

"Siano a ed n due numeri naturali. Se la radice a-ma di n non esiste nel campo nei numeri interi, essa non esiste neppure nel campo dei numeri razionali."

Lo si dimostra per assurdo. Sia x = p / q un numero razionale tale che xª = n, con p e q primi tra loro. Allora anche pª e qª sono primi tra loro.

Dovendo essere n = xª = (p / q)ª, risulta pª = n ּ qª e perciò qª è un divisore di pª. Ma pª e qª sono primi tra loro, e ciò può avvenire soltanto se qª = 1. Sarebbe allora x = p / 1, un numero intero, contrariamente all'ipotesi.   ▲  

Prossimo capitolo: Il contesto storico