Aritmetica: Elevamento a Potenza

Sommario:

+ Contare
+ Sistemi di numerazione
+ Addizione e Sottrazione
+ Moltiplicazione
+ Divisione
+ Radice Quadrata
– Elevamento a Potenza
      Una "semplificazione"
      Proprietà delle potenze
      Esponenti negativi o nulli
      Moltiplicazione e divisione degli esponenti
      Potenza... delle potenze!
+ Logaritmi
+ Il Regolo Calcolatore

Una "Semplificazione"

Nella storia della matematica, molti concetti sono stati introdotti con lo scopo di semplificare i calcoli. Così la moltiplicazione è un modo per semplificare il calcolo della somma di molti numeri uguali, mentre la divisione consiste nel vedere quante volte si può sottrarre il divisore dal dividendo.

Anche l'elevamento a potenza ha uno scopo simile: è un modo semplice di indicare quante volte un numero va moltiplicato per se stesso. Infatti la definizione è:
"Potenza di un numero è il prodotto di tanti fattori uguali a quel numero che si dice base, mentre il numero dei fattori si dice esponente o grado della potenza".
Come spesso accade in matematica, una volta introdotta una nuova operazione si cerca di sfruttarla il più possibile in modo da generalizzarne l'uso in tutti i modi possibili, a patto di rimanere sempre nell'ambito di una teoria coerente.     

Proprietà delle potenze

Ora vedremo come un concetto relativamente semplice (l'elevamento a potenza, appunto) può dar luogo a sviluppi veramente importanti: negli esempi che seguono userò sempre la base 5 (può essere sostituita da qualsiasi numero, purché maggiore di zero e diverso da uno). Per definizione di potenza, abbiamo le seguenti equivalenze:

Potenze 1

Vediamo ora cosa succede moltiplicando due potenze di base uguale:

Potenze 2

Il prodotto di due potenze di una stessa base è equivalente a un'unica potenza con la stessa base e con esponente pari alla somma degli esponenti delle due potenze di partenza.

Lo stesso ragionamento si può fare con le divisioni, infatti

Potenze 3

Fin qui stiamo rimanendo nell'ambito degli esponenti positivi, quindi nell'ambito della definizione di potenza. Ma come abbiamo già visto nelle puntate precedenti, le sottrazioni possono dar luogo allo zero o a numeri negativi. E cosa succede se l'esponente di una potenza diventa, appunto, zero o negativo?     

Esponenti negativi o nulli

Potenze 4

Da quanto si vede qui sopra, qualsiasi numero (purché maggiore di zero), se elevato alla potenza zero, dà come risultato il numero uno. Ma si può andare oltre:

Potenze 5

Esponenti negativi danno luogo al reciproco (ovvero la divisione 1:x) del valore della stessa potenza ma calcolata con esponente di segno positivo.

In questo modo abbiamo imparato a gestire la somma e la differenza degli esponenti, generalizzando il concetto di potenza anche quando gli esponenti diventano negativi. Non so se ve ne siete accorti, ma quello che stiamo facendo è "inventare" un'aritmetica degli esponenti!     

Moltiplicazione e divisione degli esponenti

La moltiplicazione degli esponenti dà luogo a quel concetto che a scuola ci insegnavano come "potenza di potenza". Ne faccio solo un accenno:

Potenze 6

E la divisione? Niente paura, la divisione degli esponenti si può fare, anche quando il loro quoziente non è intero! Vediamo la seguente espressione:

Potenze 7

Ma qual è quel numero che, moltiplicato per se stesso tre volte, dà 5? Questo numero è la radice cubica di cinque; infatti:

Potenze 8

L'elevazione alla potenza 1:n significa quindi estrarre la radice ennesima della base. E un esponente del tipo 2/3? presto detto:

Potenze 9

Con questo abbiamo imparato a usare gli esponenti di ogni valore intero (anche con segno) e razionale. Si potrebbe continuare il discorso anche per i numeri irrazionali, ma questo non è necessario per arrivare al punto che mi interessa (nel prossimo capitolo); per andare avanti con il discorso basta ricordare ciò che ho detto più sopra:
Il prodotto di due potenze che hanno la stessa base è la stessa cosa di un'unica potenza con esponente pari alla somma degli esponenti delle due potenze di partenza; e questo vale per ogni tipo di esponente: naturale, intero con segno, razionale, e anche irrazionale.


Potenza... delle potenze!

A proposito delle potenze di 5 con cui abbiamo armeggiato finora: ecco qui una rappresentazione grafica delle potenze con esponente compreso fra 0 e 6, che dà un'idea di quanto aumentano i numeri nell'elevamento a potenza.     

Cubetti

Prossimo capitolo: i Logaritmi

Nessun commento:

Posta un commento