Aritmetica: Moltiplicazione

Sommario:

+ Contare
+ Sistemi di numerazione
+ Addizione e Sottrazione
– Moltiplicazione
      Numeri romani
      L'Abaco (o pallottoliere)
      Il metodo di "Prostaferesi"
      I "Bastoncini di Nepero"
+ Divisione
+ Radice Quadrata
+ Elevamento a potenza
+ Logaritmi
+ Il Regolo Calcolatore

La moltiplicazione è un modo semplificato di calcolare una somma di molti termini uguali; è un'operazione che si può fare semplicemente contando (come spiego qui) oppure, appunto, sommando ripetutamente.

La moltiplicazione non dà i problemi della sottrazione, che fa comparire anche lo zero e i numeri negativi: la moltiplicazione di due numeri naturali dà sempre un numero naturale (il sistema dei numeri naturali si dice che è chiuso rispetto alle operazioni di moltiplicazione, come anche di addizione).     

Numeri romani

Un effetto da non sottovalutare con la moltiplicazione è che può facilmente dar luogo a numeri molto grandi; e il vecchio sistema di numerazione come quello dei numeri romani, come faceva a rappresentare numeri superiori a qualche migliaio? Era stata codificata una forma standard di rappresentare i simboli classici dei numeri romani facendo assumere loro un valore mille volte superiore: bastava scrivere una lineetta sopra a ciascun simbolo; in questo modo si potevano raggiungere agevolmente numeri superiori al milione.

Romani1000

Il problema con questi numeri era però... di farci i calcoli. Siamo abituati con il moderno sistema decimale a fare le moltiplicazioni in colonna, ma con i numeri romani questo era impossibile: e infatti si ricorreva ad un mezzo molto diverso, che descrivo qui di seguito. Ammettiamo di voler calcolare il seguente prodotto:
Numeri Romani: Moltiplicazione 1
(in rosso il moltiplicando, in blu il moltiplicatore; a sinistra in numeri decimali, a destra in numeri romani).

Il calcolo inizia impostando due colonne di numeri, in testa alle quali si scrivono il moltiplicando, in rosso qui sotto, e il numero 1, in blu; in grigio, a sinistra e a destra, i valori corrispondenti in notazione decimale:
Numeri Romani: Moltiplicazione 2

Nelle colonne così impostate si vanno aggiungendo numeri sempre doppi rispetto a quelli soprastanti; i calcoli si arrestano solo quando nella colonna di destra, il calcolo successivo darebbe un risultato maggiore rispetto al moltiplicatore (in questo caso, 32 x 2 = 64, maggiore di 41).
Numeri Romani: Moltiplicazione 3
(Nota - Nelle antiche "scuole d'abaco" le operazioni aritmetiche insegnate erano cinque e non quattro: alle classiche somma, sottrazione, moltiplicazione e divisione si aggiungeva proprio il calcolo del raddoppio).

A questo vanno contrassegnate le righe tali che, sommando i valori di destra, si ottiene esattamente il valore del moltiplicatore. In questo caso: 1+8+32 = 41.
Numeri Romani: Moltiplicazione 4

Adesso rimane solo da sommare i corrispondenti valori della colonna di sinistra:
Numeri Romani: Moltiplicazione 5

Eseguendo le somme nelle due colonne si ottengono: a sinistra (in rosso) il prodotto cercato; a destra (in blu) la riprova che le righe scelte sono quelle giuste, in quanto la somma coincide con il moltiplicatore: voilà!

Certo è un sistema piuttosto complicato, che con numeri grandi diventa davvero difficoltoso. Per esempio, il prodotto

DXXXXVIII x CCCLXVII (548 x 367)


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CCMCXVI                      (201116)

ma per eseguire questo calcolo devo farmi aiutare da un qualche strumento meccanico: eccolo qui di seguito!     

L'Abaco (o pallottoliere)

Pallottoliere

L'abaco, o pallottoliere, era il mezzo più usato per fare di conto; ci si possono fare somme e sottrazioni, moltiplicazioni e persino divisioni: vediamo un po' come si sarebbe potuto svolgere con questo mezzo la moltiplicazione che ho esposto qui sopra. Il metodo è lo stesso sia che si usino numeri decimali o romani: le somme vengono fatte direttamente sul pallottoliere (quindi non occorre trascrivere i risultati intermedi, cosa che con i numeri romani sarebbe faticosissimo); alla fine del calcolo il risultato potrà essere direttamente trascritto in una qualunque delle due notazioni, decimale o romana.

Nelle figure che seguono faccio vedere i vari passaggi; a destra mostro sempre i fattori che si stanno moltiplicando, evidenziando in arancione le cifre coinvolte nel calcolo. A fianco delle righe del pallottoliere indico la somma da fare volta per volta sul pallottoliere stesso.

Quindi comincio con il pallottoliere "azzerato" (tutti i pallini a sinistra) e trascrivo il prodotto delle due cifre delle unità, 8 x 7 = 56.

PallMoltip 1

Come si vede, adesso la riga in basso (unità) indica il valore 6 (pallini spostati a destra); e la seconda riga (decine) indica il valore 5: quindi 5 decine più 6 unità fa 56.

Ora devo aggiungere 4 x 7 = 28, ma una riga sopra (come si fa nella moltiplicazione in colonna, spostandosi a sinistra). Il problema è che nella seconda riga c'è da sommare 5 con 8, che dà riporto: ecco che nella seconda metterò un 3 (le unità del numero 13, vedi schema qui sotto a sinistra); nella terza riga sposto un pallino ad indicare il riporto (schema centrale); infine sommo il 2 nella terza riga: risultato di questa prima somma è 336.

PallMoltip 2

L'aggiunta del 35 alla terza e quarta riga non comporta problemi (non ci sono riporti):

PallMoltip 3

Seguono in sequenza tutti i passaggi mancanti:

PallMoltip 4

PallMoltip 5

PallMoltip 6

PallMoltip 7

PallMoltip 8

PallMoltip 9

Trascrivendo il risultato avremo due centinaia di migliaia, zero decine di migliaia, un migliaio, un centinaio, una decina e sei unità. In altre "parole": proprio
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CCMCXVI      (201116)

Sistemi come questo erano gli unici possibili dovendo fare moltiplicazioni con i numeri romani. Ma ancora oggi ci sono persone che sono più veloci a fare moltiplicazioni sul pallottoliere che sulla calcolatrice: evidentemente è questione di abitudine!     

Il metodo di "Prostaferesi"

Il sistema del pallottoliere andava sicuramente bene per i mercanti e i cambiavalute, ma era davvero troppo complicato e dispersivo per gli scienziati. Dispersivo perché quando si moltiplicano numeri decimali, il numero delle cifre dopo la virgola aumenta a dismisura: per esempio, se devo moltiplicare due numeri con rispettivamente 4 e 5 cifre decimali, il risultato esatto ne comprende 9; gli scienziati come Keplero, che lavoravano non su numeri esatti ma su misure fatte "a occhio" del movimento dei pianeti del cielo, limitavano i loro calcoli a un numero ragionevole di decimali, quindi utilizzare sistemi in grado calcolarli tutti, ma proprio tutti questi decimali (come nel caso dell'abaco), era davvero uno spreco di tempo.

Nel XVI secolo gli astronomi sentirono più che mai il bisogno di poter eseguire calcoli più veloci, anche se in modo approssimato; e questo per vari motivi: da una parte i viaggi verso l'America, scoperta da poco, richiedevano rotte oceaniche molto più complesse da seguire rispetto al semplice cabotaggio lungo le coste, e la Marina chiedeva agli scienziati un modo sicuro (e possibilmente facile) di determinare il punto nave. Inoltre nel 1543 Niccolò Copernico pubblicò il celeberrimo libro "De revolutionibus orbium coelestium" in cui ipotizzava un sistema solare di tipo eliocentrico: alcuni scienziati (fra cui Keplero, leggi in seguito) si sentirono spinti a studiare nuovamente il cielo in modo da capirne il vero funzionamento.

Tutte queste cose richiedevano moltiplicazioni, e andava a finire che gli scienziati passavano il grosso del loro tempo a svolgere "semplici" moltiplicazioni! Ecco quindi la necessità di inventare nuovi metodi.

Il primo tentativo di semplificare le moltiplicazioni fu fatto mediante la trigonometria: verso il 1580 fu escogitato un sistema ingegnoso, detto di "prostaferesi", che consentiva di convertire una moltiplicazione in una serie di passaggi più semplici; il procedimento si basava su una formula trovata dal matematico tedesco Johann Werner:

cos( α ) x cos( β ) = ½ [ cos( α + β ) + cos( α - β ) ]

In questa formula vediamo comparire quattro volte la sigla "cos", che sta per "coseno". In questa sede non ci serve sapere esattamente di cosa si tratti: ci basta sapere che già dai tempi di Tolomeo erano state compilate tabelle in cui, per ogni angolo, erano calcolate, una volta per tutte, le varie funzioni trigonometriche fondamentali; bastava consultarle per convertire un angolo nel suo coseno oppure, dato un valore numerico, trovare l'angolo il cui coseno fosse proprio il valore numerico dato.

Osserviamo meglio la formula che ho riportato qui sopra: alla sinistra dell'uguale compare il prodotto delle funzioni coseno di due angoli α e β; a destra compare la somma fra le funzioni coseno della somma e della differenza degli stessi angoli. Ecco come veniva sfruttata questa formula per calcolare le moltiplicazioni:

Ammettiamo di voler calcolare 0,91852 x 0,96963 (il risultato esatto è 0,8906245476). Se dico che

cos( α ) = 0,91852
e
cos( β ) = 0,96963

la mia formula diventa:

0,91852 x 0,96963 = ½ [ cos( α + β ) + cos( α - β ) ]

Il segno di uguale mi dice che l'espressione alla sua sinistra (il prodotto che voglio calcolare) vale esattamente quanto l'espressione alla sua destra; ma per calcolare l'espressione di destra ho bisogno dei valori α e β: per ottenerli basta consultare le apposite tabelle (riproduco le immagini che seguono dal libro delle tabelle numeriche che usavo alle superiori)

coseno23 coseno14

Il valore di α è l'arco il cui coseno vale 0,91852. Cerco nella tabella a sinistra quale numero nella colonna del coseno si avvicina di più a questo valore, e trovo un angolo di 23° 17'. Analogamente faccio per β, il cui coseno vale 0,96963, quindi trovo l'angolo 14° 9'.

Ottenuti i valori degli angoli α e β posso calcolare la loro somma e differenza:

α + β = 23° 17' + 14°  9' = 37° 26'
α -  β = 23° 17' -  14°  9' =   9°  8'

Di questi nuovi valori mi servono i coseni, quindi consulto nuovamente le mie tabelle:

coseno37 coseno09

Ecco allora che

cos( α + β ) = cos( 23° 17' + 14°  9' ) = cos( 37° 26' ) = 0,79406
cos( α -  β ) = cos( 23° 17' -  14°  9' ) = cos( 09° 08' ) = 0,98732

La formula mi chiede di calcolare la media di questi due valori, ovvero la loro semisomma. Facciamo il calcolo:

0,91856 x 0,96966 = ½[ cos( α + β ) + cos( α - β ] = ½[ 0,79406 + 0,98732 ] = 0,89069.

Rispetto al valore vero, che è 0,8906245476, ottengo un errore pari circa a 0,000065: davvero un'ottima approssimazione!

Ricapitolando: dati due valori da moltiplicare, trovo gli angoli di cui sono coseno; sommo e sottraggo; trovo il coseno di questi due nuovi valori; calcolo la semisomma: questo è il prodotto cercato. Ovviamente il metodo si complica se i fattori sono maggiori di uno, nel qual caso occorre qualche passaggio in più; nonostante questo, gli astronomi del XVI secolo preferivano di gran lunga usare questo sistema piuttosto che calcolare le moltiplicazioni sulla carta o con l'abaco!     

I "Bastoncini di Nepero"

Il metodo di prostaferesi verrà presto sostituito dall'uso dei "logaritmi", di cui parlo qui. Lo stesso autore di questi ultimi, John Napier, inventò anche un ingegnosissimo sistema di calcolo, in gradi di fare, oltre che moltiplicazioni e divisioni, anche radici quadrate.

Si parte da due regoli di legno montati a 90° come mostro qui sotto:

Nepero02

e da una serie di bastoncini (qui ne mostro 9):

Nepero03

Ogni bastoncino è identificato da una cifra in alto, da 1 a 9. Di sotto ciascuno dei bastoncini ha nove caselle, che riportano il prodotto della cifra in alto con i numeri che vanno da 1 a 9; le cifre delle decine sono separate dalle cifre delle unità da una riga diagonale.

Per vedere come funziona il tutto, la cosa più veloce è fare un esempio pratico. Dovendo calcolare 845 x 6 (= 5070) basta disporre i bastoncini così:

NeperoA1

Ora va considerata la sola riga che ha il numero 6 sulla sinistra, e osservato il contenuto delle caselle di ciascun bastoncino partendo da destra.

Bastoncini Nepero 1b Bastoncini Nepero 1c

Nell'immagine di sinistra, la cifra evidenziata in giallo rappresenta le unità del prodotto 6 x 5 = 30, che sarà la cifra delle unità del calcolo finale. Nell'immagine di destra vediamo evidenziati la cifra delle decine dello stesso prodotto, assieme alla cifra delle unità del prodotto 6 x 4 = 24: la somma del 3 e del 4 dà 7, che è la cifra delle decine del prodotto finale.

Andiamo avanti:

Bastoncini Nepero 1d Bastoncini Nepero 1e

Ora bisogna sommare le cifre 2 e 8, che dà 10: la cifra delle centinaia del risultato è lo 0, ma devo ricordarmi che c'è da tenere conto di un riporto. Nell'immagine di destra è rimasto solo un 4: lo sommo al riporto che avevo in sospeso e ottengo la cifra delle migliaia del risultato. Totale calcolato: 5070.

Facciamo ora un esempio un po' più complesso: proviamo con 836 x 874523. Come vedremo, occorrerà trascrivere i passaggi intermedi; ma cominciamo disponendo i bastoncini:

NeperoB1

Ora procediamo a moltiplicare 874523 per la cifra delle unità di 836:

NeperoB4

Il risultato, si verifica facilmente, è 5247138. Poi è il turno della cifra 3:

NeperoB3

Risultato 2623569. Infine la cifra 8:

NeperoB2

Risultato 6996184. Adesso bisogna fare la somma (a mano):

    5247138 +
  2623569
6996184
----------------
731101228

che è il risultato esatto!     

Prossimo capitolo: Divisione

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