Aritmetica: Addizione e Sottrazione

Sommario:

+ Contare
+ Sistemi di numerazione
– Addizione e Sottrazione
      Numeri romani
      Numeri decimali
      Sottrazione
      Proprietà commutativa e Numeri negativi
      I numeri negativi oggi
+ Moltiplicazione
+ Divisione
+ Radice Quadrata
+ Elevamento a potenza
+ Logaritmi
+ Il Regolo Calcolatore

Nel primo capitolo abbiamo visto come l'operazione del contare sia sufficiente a risolvere molti problemi aritmetici. Naturalmente, quando i numeri diventano grandi, questo sistema è impensabile!

Numeri romani

Il sistema dei numeri romani è nato come semplicemente "additivo": si accumulavano simboli dal più grande al più piccolo fino a raggiungere il valore desiderato (l'equivalenza IIII = IV è un'aggiunta medievale, vedi in seguito). Quindi per esempio i numeri 297 e 728 si rappresentavano con:

C C L X X X X V I I
D C C X X V I I I

Fare l'addizione di questi numeri era relativamente facile (il totale è 1025): bastava concatenare tutti i simboli presenti nei due numeri, e poi sostituire da destra le cifre ridondanti (scrivo in neretto le cifre da sostituire: cinque I diventano una V, due V una X e così via):

D C C C C L X X X X X X V V I I I I I
D C C C C L X X X X X X V V V
D C C C C L X X X X X X X V
D C C C C L L X X V
D C C C C C X X V
D D X X V
M X X V

Le cose si complicarono ulteriormente quando furono introdotte le "abbreviazioni" di cui parlavo prima, come IIII = IV, VIIII = IX, XXXX = XL eccetera. Insomma, ci voleva una buona pratica...   ▲  

Numeri decimali

Nel capitolo precedente abbiamo visto come siamo arrivati ad usare i numeri decimali, che sono nati in Babilonia e poi giunti a noi passando attraverso l'India: non credo di dover spiegare come funziona un'addizione con questi numeri!   ▲  

Sottrazione

L'operazione di sommare, che deriva direttamente da quella del contare, non è certo un'operazione sufficiente a risolvere tutti i problemi aritmetici; e non lo era neanche per gli uomini dell'antichità.

Molte attività umane si sono sviluppate in epoca preistorica all'interno della Mezzaluna Fertile, che va dall'Egitto alla Mesopotamia, culla delle civiltà Mediterranee. L'agricoltura in queste zone è caratterizzata da cereali (che danno semi secchi) e legumi (che danno frutti essiccabili): tutte derrate facilmente conservabili.

La necessità di immagazzinare queste derrate richiedeva varie istituzioni: un sistema di leggi che obbligassero i contadini a consegnare parte del loro raccolto, la costruzione di appositi magazzini e, per quanto riguarda la nostra storia, scribi in grado di tenere il conto delle scorte. Non è escluso che gli scribi, per "incoraggiare" i contadini a privasi di parte del raccolto, abbiano inventato qualche "rito sacro" in modo da incutere il giusto timore di punizioni divine; da qui a ergersi sacerdoti di chissà quale culto il passo è breve... (insomma, eccoci belli e sistemati con una casta in grado di dominare conoscenza, coscienze, economia... e, anche se forse non sempre per vie dirette, di gestire anche il potere politico!)


In questo collage, fra farro e lenticchie rosse ho inserito la statua in diorite dedicata al dio Ningishzida, 2120 a.C. (periodo neo-sumerico), ritrovata tra le rovine di Girsu, Tellō (Iraq meridionale).

L'aritmetica inizia a svilupparsi in epoche antichissime: forse una delle prime applicazioni del contare può essere stata quella dei cacciatori che incidevano tacche sul manico della loro ascia per tenere il conto degli animali abbattuti, ma per fare questo avevano bisogno solo di aggiungere (sommare) una tacca ogni tanto. Per gestire un magazzino invece occorre non solo sommare... ma anche sottrarre, a seconda delle entrate e delle uscite!   ▲  

Proprietà commutativa e Numeri negativi

La sottrazione complica la vita molto più dell'addizione, per almeno due motivi: intanto la sottrazione non gode della proprietà commutativa dell'addizione. Se nell'addizione

calcolare 4 + 3 è lo stesso che 3 + 4,

nella sottrazione

calcolare 4 – 3 non è lo stesso che 3 – 4

Inoltre la sottrazione 3 – 4 che risultato dà?
Anzi, che risultato dà anche solo la sottrazione 3 – 3?

Partiamo da quest'ultima domanda. Quando lo scriba di turno aveva il magazzino vuoto, chi fosse andato a chiedergli "quante lenticchie hai" non si sarebbe certo sentito rispondere "zero", piuttosto "nessuna", oppure "non ce ne sono più". Lo zero non è un numero naturale, e per accettarlo nella schiera dei numeri ci sono voluti non secoli, ma millenni. I babilonesi, già inventori del sistema di numerazione posizionale, solo verso il III sec. a.C. avevano inventato un simbolo a rappresentare lo zero come cifra (come nella nostra numerazione, in cui 101 vuol dire un centinaio, zerodecine e una unità), ma non come numero a sé.

Le prime tracce dello zero come numero indicante il nulla si trovano nella matematica di Tolomeo (II secolo), in cui qualche volta usa un simbolo a sé stante per indicare lo zero; ma il primo studio sistematico dello zero come numero si deve al matematico indiano Brahmagupta (598-668), che in un suo testo del 628 espone le regole non solo per l'uso dello zero come numero, ma anche dei numeri negativi:

— La somma di zero con un numero negativo è negativo
— La somma di zero con un numero positivo è positivo
— La somma di zero con zero è zero
— La somma di un numero positivo e uno negativo è la loro differenza [1]
— Se un numero positivo è diviso da zero forma una frazione con lo zero al denominatore [2]
— Zero diviso per un numero pos. o neg. è zero oppure una frazione con lo zero al numeratore
— Zero diviso zero dà zero [3]

[1] si tratta della somma algebrica, di cui parlerò in seguito; [2] l'autore non esprime cosa significa questa frazione con lo zero al denominatore; [3] diciamo che questa è... una "semplificazione eccessiva"!

Veniamo a tempi più recenti. Leonardo Fibonacci (di cui ho già parlato qui), nel suo "Liber Abaci" introduce lo zero come cifra, ma anche come numero; inoltre inizia ad usare i numeri negativi, ma solo per distinguere i debiti dai crediti. L'uso dei numeri negativi in questo senso ha comunque tardato molto a diventare una pratica comune, anche perché i mercanti continuavano ad usare i numeri romani; la partita doppia come sistema di contabilità prevedeva il calcolo in due colonne distinte per il dare e l'avere, proprio per non dover ricorrere ai numeri negativi.

A differenza dei mercanti, fra gli studiosi delle scienze matematiche i numeri arabi si diffusero più velocemente, ma le perplessità riguardo allo zero e ai numeri negativi continuarono per secoli.

Un (piccolo) passo avanti lo fa il matematico francese Nicolas Chuquet (circa 1445-1500), che riprende i numeri del Fibonacci dicendo che

"la decima figura non ha né significa nessun valore, e pertanto viene chiamata cifra nulla o figura di nessun valore".

Chuquet utilizza ancora un metodo molto verboso in cui cui esprime le quattro operazioni con plus, moins, multiplier par, partyr par (le espressioni con gli operatori + – x : a cui siamo abituati hanno richiesto secoli di aggiustamenti). L'opera di Chuquet è soprattutto importante perché getta le basi dell'algebra, in quanto in qualche modo imposta il metodo moderno di studiare i valori delle incognite nelle loro varie potenze (esempio classico: le equazioni di secondo grado, dove l'incognita X compare nel suo valore semplice e nel suo quadrato). Ecco, Chuquet non solo inventa i simboli per esprimere gli esponenti, ma anche usa esponenti negativi: e questa è la primissima volta che in occidente vengono utilizzati intenzionalmente numeri negativi nell'algebra! Attenzione però: gli esponenti negativi equivalgono al calcolo dei reciproci; per esempio xˉ² vuol dire 1/x², xˉ³ vuol dire 1/x³ e così via. Se x è positivo, queste operazioni danno sempre come risultato numeri positivi: i numeri negativi in quanto tali, per Chuquet, continuavano ad essere assurdi.

Per vedere il primo studio che non rifiuta del tutto i numeri negativi bisogna aspettare Girolamo Cardano (1501-1576) che accettò tali numeri come soluzione alle equazioni di terzo grado... ma sempre chiamandoli "numeri ficti"!   ▲  

I numeri negativi oggi

Al giorno d'oggi i numeri negativi non sono più un grosso problema. Almeno, fino a quando non ci si imbatte nell'insegnamento dell'aritmetica a scuola, in cui l'introduzione dei numeri negativi, associata al concetto di "numeri algebrici", crea apprensione e, molto spesso, rifiuto. Eppure credo che qualunque bambino sappia capire la differenza fra una temperatura di +8° o di –8°...



Fatto sta che appena si sente la parola "algebra", di solito cala il sipario e le meningi si rifiutano di collaborare! Eppure l'adozione dei numeri negativi comporta, nell'ambito delle sottrazioni di cui ci stiamo occupando, una semplificazione: se invece di considerare una sottrazione l'espressione

4 – 3

la consideriamo una somma algebrica,

4 + (–3)

allora torniamo ad avere la proprietà commutativa che avevo escluso all'inizio, perché quest'espressione sopra è esattamente equivalente a:

–3 + 4

Insomma, tutti i passi avanti che vengono fatti in matematica sono tesi alla semplificazione, cioè all'usare regole sempre più sintetiche nel modo più generale possibile. L'uso di numeri che comprendono anche i valori negativi e lo zero, non solo dà ragione di tutti i possibili risultati delle sottrazioni, ma consente di generalizzare qualsiasi espressione mista di somme e sottrazioni in un'unica addizione di termini, ciascuno da considerare con il suo segno positivo o negativo.   ▲  

Prossimo capitolo: Moltiplicazione