Aritmetica: il Regolo Calcolatore

Sommario:

+ Contare
+ Sistemi di numerazione
+ Addizione e Sottrazione
+ Moltiplicazione
+ Divisione
+ Radice Quadrata
+ Elevamento a potenza
+ Logaritmi
– Il Regolo Calcolatore
      Uno strumento magico
      Le origini
      Doppia scala logaritmica
      il Regolo "moderno"
      Calcoli avanzati
      Qualche particolare curioso

Uno strumento magico

Ho sempre pensato che il regolo calcolatore fosse uno strumento di calcolo piuttosto limitato... fino a quando ho trovato nella biblioteca di mio padre questo libro del 1936 che ne rivela tutti i segreti:



Ci ho messo qualche giorno a capirli, ma ora posso dire... che era davvero uno strumento portentoso, in grado di fare calcoli di una complessità inaspettata.   ▲  

Le origini

Prima di iniziare a parlare del regolo calcolatore, riscrivo la definizione di logaritmo (di cui ho parlato nel capitolo precedente):

Il logaritmo decimale di un numero è l'esponente a cui elevare la base 10 per ottenere il numero dato.

Ecco come si esprime questo concetto in formule per due numeri N1 e N2, ma anche per il loro prodotto:



Fra le proprietà delle potenze (di cui invece ho parlato qui) c'è quella per cui il prodotto di due potenze di pari base è la stessa cosa di una potenza della stessa base con esponente uguale alla somma dei due esponenti di partenza. Quindi:



Dalle formule qui sopra risulta quindi che il logaritmo del prodotto è uguale alla somma dei logaritmi dei fattori. Il "trucco" alla base del funzionamento del regolo calcolatore è proprio il fatto che siamo riusciti a trasformare un prodotto in una somma!

A seguito degli studi di Nepero sui Logaritmi ci fu subito chi pensò di sfruttare l'idea in modo da velocizzare i calcoli, anche a scapito della precisione. Già nel 1623 Edmund Gunter, professore di astronomia al Gresham College di Londra, sviluppa una scala logaritmica sulla quale, con l'aiuto di un compasso, si possono eseguire graficamente moltiplicazioni e divisioni. Ecco... ma cos'è esattamente una scala logaritmica?



Si tratta di un righello in cui si riportano tacche a distanze proporzionali ai logaritmi dei numeri da 1 a 10. Nel diagramma sopra specifico che ogni tacca corrisponde al logaritmo del numero, ma la sigla "log" non è assolutamente necessaria:



Notare che a destra si scrive un 1 e non un 10: questa è una pratica utilizzata in tutti i regoli calcolatori. In pratica "si sa" che all'uno di destra corrisponde un 10; inoltre, come vedremo, in qualche caso l'uno di destra viene usato proprio come... 1 e non come 10!.

Ecco costruita la scala logaritmica! Ora ammettiamo di voler moltiplicare 1,5 per 4 con questa scala e un compasso, proprio come faceva il Gunter: basterà aprire il compasso a un'apertura corrispondente al logaritmo di 1,5 e riportare la stessa apertura sul 4. Vediamo il procedimento passo per passo:



La punta destra del compasso è posizionata sulla tacca del 1,5. La punta sinistra va messa sulla tacca del 1, perché ricordiamoci che quella tacca rappresenta il logaritmo di 1, e il logaritmo di 1 è 0. In questo modo l'apertura del compasso corrisponde alla differenza fra logaritmo di 1,5 e logaritmo di 1, quindi:

log( 1,5 ) – log( 1 ) = log( 1,5 ) – 0 = log( 1,5 )

Una volta trovata l'apertura del compasso, basta traslarlo verso destra:



Ecco che mettendo la punta sinistra del compasso sulla tacca del 4 mi ritrovo la punta destra sul 6 (ricordo che logaritmo di 1 fa 0):

log( 4 ) + [ log( 1,5 ) – log( 1 ) ] = log( 4 ) + log( 1,5 ) = log( 4 x 1,5 ) = log( 6 )

(infatti 1,5 x 4 = 6).

Con le stesse posizioni esatte avrei potuto fare il calcolo inverso: infatti con la stessa apertura corrispondente al numero 1,5, avrei potuto fare la divisione 6 : 1,5 = 4: considerando di mettere la punta destra del compasso sul 6, la punta sinistra mi avrebbe dato correttamente il quoziente cercato (alla differenza degli esponenti infatti corrisponde la divisione delle potenze).

log( 6 ) – [ log( 1,5 ) – log( 1 ) ] = log( 6 ) – log( 1,5 ) = log( 6 : 1,5 ) = log( 4 )   ▲  

Doppia scala logaritmica

Nel 1630 Edmund Wingate utilizza due scale di Gunter una di fronte all'altra per eseguire direttamente moltiplicazioni e divisioni, senza dover usare il compasso. Vediamo la moltiplicazione 1,5 x 3:



La zona rossa, nella scala inferiore, ha la stessa ampiezza del compasso che abbiamo visto sopra. Facendo partire l'origine (ossia la tacca del 1) della scala superiore proprio dalla fine della zona rossa, vedo che il limite destro della zona azzurra cade sul 4,5: infatti 1,5 x 3 = 4,5.

Questo procedimento va bene anche per calcolare numeri con ordini di grandezza diversi: es. 15 x 300 = 4500; in questi casi gli zeri in più o in meno, o gli eventuali spostamenti della virgola decimale, devono essere fatte "a mano" (in questo senso gli errori erano sempre in agguato... occorreva stare molto, molto attenti; l'ideale era capire più o meno qual era il risultato prima di calcolarlo, e cercare con il regolo solo la precisione delle cifre significative).

E se invece voglio calcolare 5 x 3? Qui nasce un problema, in quanto il tre sulla scala superiore si posiziona al di fuori della scala inferiore, quindi non riesco a leggere il risultato:



In questi casi si ricorre a un espediente: invece di moltiplicare per 3 si moltiplica per 0,3:



La zona marcata in azzurro qui sopra indica la differenza fra il logaritmo di 3 e il logaritmo di 10, quindi

log( 3 ) – log( 10 ) = log( 3 : 10 ) = log( 0,3 )

Allora basta posizionare, sul 5 della scala inferiore, non la tacca dell'uno sinistro della scala superiore, ma la tacca dell'uno destro:



In questo modo la moltiplicazione 5 x 0,3 si riesce a fare senza uscire dalle scale, e il risultato si legge sul 1,5 della scala inferiore; ma siccome abbiamo moltiplicato per 0,3 e non per 3, occorre "aggiustare" il risultato moltiplicandolo per 10: il risultato finalmente è 15!

Dicevo che fra le proprietà delle potenze (e dei logaritmi) c'è quella per cui alla divisione delle potenze corrisponde la sottrazione degli esponenti. Quindi posso calcolare la divisione 6 : 4



Dal grafico qui sopra si vede come sul 5 della scala inferiore non metto l'uno ma il 4 della scala superiore; l'uno della scala superiore si trova quindi sulla sinistra, e le aree rossa e azzurra si "sottraggono": ecco che la tacca 1 della scala superiore cade sul 1,5 della scala inferiore, determinando il risultato corretto.

Vediamo ora il calcolo "standard" (che in realtà ho scoperto essere tale solo leggendo il libro di cui ho parlato nella didascalia della foto): moltiplicazione e divisione in un colpo solo! In pratica è il calcolo di una proporzione: un numero moltiplicato per una frazione di cui sono dati numeratore e denominatore, come per esempio il calcolo dei tre mezzi di cinque (5 x 3 / 2).



Allineando il 2 della scala superiore con il 5 della scala inferiore abbiamo che la tacca del 1 sinistro della scala superiore indica il quoziente 5 : 2 = 2,5. Le zone verde e azzurra insieme danno il fattore 3, quindi è come se si stesse moltiplicando per 3 il quoziente 5 : 2. Infatti il 3 sulla scala superiore cade proprio sul 7,5 di quella inferiore, che è il risultato esatto!

Ovviamente anche con le divisioni e con i calcoli misti (moltiplicazione e divisione insieme) può capitare di uscire "fuori scala"; ma c'è sempre il modo di sistemare le scale in modo da ottenere il risultato, come abbiamo visto per la moltiplicazione.   ▲  

Il Regolo "moderno"

Grazie a successivi miglioramenti, e al fatto che a partire dalla metà del XIX secolo l'industria meccanica di precisione ne ha permesso la costruzione in serie, il regolo calcolatore è diventato uno strumento di calcolo sostanzialmente standardizzato e di ampia diffusione. I regoli calcolatori sono costituiti dai seguenti elementi:

— un corpo su cui si trovano delle scale fisse
— un'asta scorrevole con delle scale mobili
— un cursore con una o più linee di riferimento



Le scale sono di vari tipi, indicate convenzionalmente da alcune lettere. Di scale semplici, come quelle del Wingate ce ne sono sempre due, una sull'asta scorrevole (scala C) e l'altra sul corpo (D). Altre scale servono per semplificare i calcoli quando si è in presenza di quadrati, cubi; radici quadrate e cubiche; funzioni trigonometriche... ecc.. Le scale di solito sono smistate fra il davanti e il dietro dell'asta e del corpo del regolo; in questo regolo sono presenti le scale:



K  — Scala dei cubi (corpo)
A  — Scala dei quadrati (corpo)
B  — Scala dei quadrati (asta)
ST— Seni e Tangenti per angoli piccoli (asta)
T  — Scala delle Tangenti per angoli > 6° (asta)
S  — Scala dei seni (e coseni) per angoli > 6° (asta)
C  — Scala dei numeri (asta)
D  — Scala dei numeri (corpo)
DI — Scala degli inversi dei numeri (1/x) (corpo)

Nel rovescio dell'asta, in alto, compaiono tre altre scale:

CI   — Scala dell'inverso dei numeri (1/X)
CF  — scala "ripiegata", che parte da pi-greco invece che da 1
CIF — scala dell'inverso, che parte da pi-greco

Per maggiore leggibilità delle foto che seguono, espongo i calcoli in modo che tutti i numeri stiano in un breve tratto del regolo, e senza fuoriuscire dalle scale; inoltre per brevità non spiego come si determinano gli zeri o la posizione della virgola: il mio scopo è solo mostrare di cosa erano capaci gli ingegneri quando usavano un regolo!   ▲  

Calcoli avanzati

Abbiamo visto che con due semplici scale si riesce a fare un'operazione mista di moltiplicazione-divisione in un colpo solo. E se invece volessi fare una divisione-divisione? Per fare questo bisogna ricondurre l'operazione che vogliamo fare a quella "standard" di moltiplicazione-divisione usando la scala dei reciproci; con questa scala si converte la divisione per B in una moltiplicazione per 1 / B:



In verde indico i numeri di partenza e il risultato reale (calcolato con la calcolatrice); in rosso il risultato ottenuto con il regolo. Nel fare il calcolo tutti gli operandi devono essere ricondotti a numeri compresi fra 1 e 10, quindi 2100 diventa 2,1; 17 diventa 1,7 e 86 diventa 8,6. Vediamo allora come si usano le scale del regolo:



Si parte sovrapponendo il valore C (17) della scala C al valore A (2100) della scala D; come abbiamo già visto, la tacca 1 di sinistra dell'asta cade sul quoziente A/C. Portare il cursore sul valore B (86) della scala CI significa moltiplicare questo quoziente per l'inverso di B, quindi dividere tale quoziente ancora per B. La lettura del cursore sulla scala D fornisce il risultato cercato.

Ora vediamo una variante del calcolo precedente: una moltiplicazione-moltiplicazione. Anche in questo caso bisogna ricondurre l'operazione desiderata al caso standard, quindi si procede moltiplicando due fattori e dividendo per il reciproco del terzo, come indicato nelle formule:





Sovrapporre il valore B (65) della scala CI al valore A (19) della scala D significa dividere A per il reciproco di B: per fare questo allineamento si usa il cursore, perché le scale CI e D non sono adiacenti. A questo punto leggere sulla scala D il numero corrispondente al valore C (12) della scala C significa moltiplicare ancora per C: ecco trovato il risultato desiderato!

Altro tipo di calcolo: una semplice divisione, ma il numeratore è una radice quadrata.





Si sposta il cursore sul valore A (350) della scala A dei quadrati (a questa posizione corrisponde, sulla scala D normale, il valore 18,7 che è proprio la radice quadrata di 350). Se ora faccio coincidere il valore B (1,51) della scala C sulla linea del cursore, avrò che il valore della scala D in corrispondenza del 1 sinistro dell'asta corrisponde alla divisione della radice quadrata di A per B, che è il risultato cercato.

Infine un calcolo davvero complesso, che richiede l'uso di ben quattro scale diverse. Si tratta del rapporto fra una radice cubica e una radice quadrata, il tutto moltiplicato per un numero normale. Per realizzare questo calcolo occorre montare l'asta del regolo al contrario, in modo da disporre sull'asta della scala dei quadrati (la scala B) .





Si porta il cursore sul valore A (7400) della scala K dei cubi (a questa posizione corrisponde, sulla scala D normale, il valore 19,487 che è proprio la radice cubica di 7400). Si sposta poi l'asta in modo da allineare al cursore il valore B (290) della scala B. A questo punto il valore della scala D in corrispondenza del 1 sinistro dell'asta corrisponde alla divisione della radice cubica di A per la radice quadrata di B; se invece cerco il valore C (1,3) sulla scala C, il valore corrispondente sulla scala D sarà il prodotto del quoziente precedente per C, che è il valore cercato.   ▲  

Qualche particolare curioso

Esistono infinite varianti di questi tipi di calcolo, che possono coinvolgere funzioni trigonometriche, logaritmiche, esponenziali... ora capisco come facessero gli ingegneri a progettare ciò che sono stati in grado di costruire negli ultimi due secoli, prima dell'avvento dell'elettronica (almeno fino ai primi anni '70 del secolo scorso).

Fra XIX e XX secolo sono stati costruiti anche regoli calcolatori di dimensioni imponenti: avevano scale di due metri di lunghezza, e un microscopio montato sul cursore. Con questi strumenti monumentali si riuscivano ad apprezzare fino a 6 cifre significative, sia negli operandi che nei risultati!

Ultima nota interessante: quando gli astronauti sono scesi sulla Luna (1969), le calcolatrici elettroniche ancora non erano state inventate, infatti la prima calcolatrice scientifica (la HP35) è solo del 1972. Allora gli astronauti sono andati sulla Luna... portandosi dietro un regolo calcolatore! La casa costruttrice di questi regoli "extraterrestri" infatti scrive sulle confezioni dei propri regoli: "5 moon flights", cinque voli sulla Luna!   ▲  

Aritmetica: i Logaritmi

Sommario:

+ Contare
+ Sistemi di numerazione
+ Addizione e Sottrazione
+ Moltiplicazione
+ Divisione
+ Radice Quadrata
+ Elevamento a potenza
– Logaritmi
      John Napier
      Ricerca di una Base
      Proprietà dei logaritmi
      Logaritmi decimali, o di Briggs
      Esempi di calcolo con i logaritmi
      I logaritmi "Naturali"
      Usi "quotidiani" dei logaritmi (deciBel, pH...)
      Conclusioni, e una "perla" letteraria
+ Il Regolo Calcolatore

I logaritmi non fanno parte dell'aritmetica, ma sono una diretta conseguenza dell'elevazione a potenza di cui ho parlato nel capitolo precedente.

John Napier



Il protagonista di questa storia è lo scozzese John Napier (italianizzato Nepero, 1550-1617). Non era un matematico di professione, bensì un ricco proprietario terriero di nobile famiglia, con vasti interessi che andavano dall'astrologia all'alchimia, dalla teologia (era un convinto anti-papista) alla matematica. Le malelingue insinuavano che si desse anche alla magia nera e frequentasse il diavolo... ma questa era un'accusa piuttosto comune, a quei tempi!

Sentiva in modo particolare la necessità di trovare un sistema per velocizzare i calcoli aritmetici. A questo riguardo scrisse:

Eseguire calcoli è operazione difficile e lenta, e spesso la noia che ne deriva è la causa principale della disaffezione che la maggioranza della gente prova nei confronti della matematica...

A proposito dei calcoli, nel 1617 fu stampato (postumo) il libro in cui descrive l'uso dei cosiddetti bastoncini o ossi di Nepero (dall'inglese Napier's Bones), con i quali ho già descritto il modo di calcolare moltiplicazioni, divisioni e radici quadrate. L'impegno di Nepero in matematica però non si esaurisce qui: infatti fornirà al mondo qualcosa di davvero rivoluzionario!

Partendo dalle proprietà delle potenze (di cui parlo qui), e in particolare dal fatto che

Il prodotto di due potenze che hanno la stessa base è uguale a un'unica potenza con esponente pari alla somma degli esponenti delle due potenze di partenza

iniziò a studiare la possibilità di trasformare prodotti (delle potenze) in somme (degli esponenti). Negli anni in cui si occupava di questo argomento, tramite il fisico scozzese John Craig suo amico, entrò in contatto con l'ambiente scientifico di Tycho Brahe e venne a sapere del nuovo procedimento di calcolo delle moltiplicazioni con il metodo di prostaferesi (ne parlo qui). Questi contatti gli dettero ulteriori stimoli a proseguire con le sue ricerche... per cui cominciamo a vedere di cosa si trattava!   ▲  

Ricerca di una Base

Il lavoro di Nepero si basa una semplice intuizione. Se devo moltiplicare diecimila per un milione posso fare:



passando dai numeri alle loro potenze di dieci, sommando gli esponenti, e alla fine calcolando la potenza di dieci con il nuovo esponente.

L'uso di soli esponenti interi non è certo di molta utilità. Nepero provò allora a usare esponenti decimali, facendo delle semplici proporzioni: se 100 sta a 1000 (fattori da moltiplicare) come 2 sta a 3 (esponenti), non è che al numero 550 (la media aritmetica fra 100 e 1000) potrebbe corrispondere l'esponente 2,5 (media aritmetica fra 2 e 3)? Se così fosse si sarebbe potuto fare:



ma evidentemente il risultato della potenza (rosso) e del prodotto calcolato in modo normale (verde) non coincidono. Facendo molti tentativi, Nepero si accorse che le cose miglioravano sensibilmente usando basi sempre più vicine all'unità. Alla fine optò per questa base:



Vediamo cosa succede. Ammettiamo di conoscere i valori delle seguenti potenze (in rosso alcuni numeri che serviranno fra poco):



Se proviamo a calcolare il valore per l'esponente 3 come media di quelli del 2 e del 4 otteniamo



che è praticamente identico al valore reale:



Facciamo una riprova con la moltiplicazione 0,9999998 x 0,9999997 utilizzando questi numeri, che indico con gli stessi colori rosso e verde che ho usato sopra:



Il valore trovato è praticamente esatto, infatti calcolando il prodotto e non la potenza della somma degli esponenti, si trova un numero quasi identico:



Nepero scoprì quindi di essere sulla buona strada; solo non gli piacevano tutte quelle cifre dopo la virgola: quindi moltiplicò tutti i suoi esponenti per 10000000. I numeri calcolati sopra quindi diventano:



Per ora sembra che il risultato sia "lineare", cioè che al crescere dell'esponente decresca in pari misura anche la potenza, ma non è sempre così. Vediamo per valori più alti:



Ecco che gli intervalli fra gli esponenti non sono più proporzionali alle differenze fra i numeri sulla sinistra.

Ora riporto altri tre numeri, giusto per fare un calcolo di prova:



Proviamo a calcolare il seguente prodotto:



Il calcolo reale sarebbe:



Mancano 7 cifre all'appello! Ma questo è naturale: siccome i numeri di Nepero sono stati tutti moltiplicati per 10000000, c'è proprio questa discrepanza nel risultato. Allora il calcolo di Nepero va aggiornato:



il risultato finale differisce pochissimo dal risultato effettivo, calcolato a mano!   ▲  

Proprietà dei logaritmi

Dopo una ventina d'anni di duro lavoro, nel 1614 Nepero pubblicò il Mirifici Logarithmorum Canonis Descriptio in cui spiega il funzionamento (57 pagine) e fornisce le tavole (90 pagine!) di questi suoi Logaritmi (il termine deriva dalle parole greche logos, nel senso di proporzione, e arithmos, numero). Vediamo ora gli aspetti pratici di questo sistema.

Il discorso è relativamente semplice: se una volta scelto un numero fisso da usare come base calcolo tutte le potenze di quella base, posso costruire una tabella per cui a ogni esponente corrisponde un numero pari al risultato dell'elevamento a potenza di quella base a quell'esponente. Si definisce quindi:

Logaritmo in base a di un numero x è
l'esponente da dare ad a per ottenere x
(x viene chiamato "argomento" del logaritmo).

per vedere un po' meglio di cosa si tratta partiamo da due numeri (arg) e dai loro logaritmi (log):



Se tramite una tabella riesco a conoscere i valori degli esponenti, ovvero i logaritmi dei due argomenti, allora per fare la moltiplicazione di questi due argomenti (fattori) posso procedere così:



Il procedimento è estremamente più semplice di una moltiplicazione: per farla basta consultare due volte le tabelle, fare una semplice somma e poi consultare "all'indietro".

Non solo: a differenza del metodo di prostaferesi, con il quale si possono fare solo moltiplicazioni, con i logaritmi si possono fare anche divisioni:



estrazioni delle radici di ogni grado:



e tante altre belle operazioni!   ▲  

Logaritmi decimali, o di Briggs

Non c'è da stupirsi che questo nuovo metodo di calcolo abbia avuto immediato riconoscimento nell'ambiente scientifico dell'epoca. Fra gli ammiratori più entusiasti c'era Henry Briggs (1561-1630), che nel 1615 si recò da Nepero per discuterne possibili modifiche alle sue tabelle. Si accordarono su una nuova impostazione (che accennerò fra pochissimo), che avrebbe richiesto di ricalcolare tutte le tavole numeriche! Vista l'età ormai avanzata di Nepero, il compito ricadde sul Briggs, che fece un lavoro enorme: calcolò più di 30000 logaritmi fino alla quattordicesima cifra decimale dopo la virgola... e questo fu solo l'inizio, in quanto pubblicò anche tabelle dei logaritmi dei seni, coseni, tangenti, insomma fece un lavoro enorme!

Il nuovo sistema di Briggs dei logaritmi decimali (o volgari, o di Briggs) si fonda sulla base 10, per cui:



I valori intermedi si calcolano in vari modi. Per esempio si sa che, fra le proprietà delle potenze, c'è quella per cui l'elevamento all'esponente 1/2 significa estrarre la radice quadrata della base. Quindi calcolando a mano la radice quadrata di 10 si ottiene:



Con metodi complicati, ma anche ingegnosi, e sfruttando tutte le scorciatoie e semplificazioni possibili, nel 1617 Briggs pubblicò la prima tavola dei logaritmi dei numeri da 1 a 1000. I risultati successivi, di cui ho accennato sopra, sono del 1624.   ▲  

Esempi di calcolo con i logaritmi

Quando frequentavo le superiori, verso il 1975, le calcolatrici elettroniche cominciavano appena a diffondersi; quindi i programmi scolastici prevedevano l’insegnamento del calcolo con le tabelle dei logaritmi, che comparivano su appositi libri di tavole numeriche. Ora è ovvio che disponendo di una tabella in due colonne, in cui a sinistra ho un numero e a destra il suo logaritmo, la stessa tabella si presta a ricavare l'antilogaritmo: basta cercare il logaritmo nella colonna di destra e trovare il numero corrispondente nella colonna di sinistra.

I logaritmi vengono divisi tecnicamente in due parti: caratteristica e mantissa. La caratteristica indica l'ordine di grandezza del numero: a numeri con una sola cifra intera corrisponde caratteristica 0; a 3 cifre intere caratteristica 2; a 4 zeri dopo la virgola -5. Infatti:



Abbiamo detto che i logaritmi sono esponenti; sappiamo inoltre che al prodotto di due potenze corrisponde la somma degli esponenti. Ogni numero può sempre espresso dal prodotto di due numeri, di cui uno esprime l'ordine di grandezza (1 10 100... oppure 0,1 0,01 0,001...) e l'altro un numero con una sola cifra intera e tutti gli altri decimali. Ciascuno di questi due numeri avrà un suo logaritmo, di cui il primo sarà sempre un numero intero (come mostrato nella tabella sopra), mentre l'altro sarà sempre uno zero virgola qualcosa (avendo questo secondo numero una sola cifra intera): il logaritmo di questo secondo numero si chiama mantissa.

Se andiamo a vedere le tabelle dei logaritmi, queste non presentano neanche la virgola negli argomenti: i numeri 7, 70, 700 e così vengono implicitamente ricondotti al numero 7,000. Qui sotto indico in verde le cifre significative del numero, e la mantissa del suo logaritmo:



Vediamo allora come si ottiene il valore completo dei logaritmi. Dicevamo che il logaritmo del prodotto è uguale alla somma dei logaritmi, quindi si considerano separatamente l'ordine di grandezza e le cifre significative. Per esempio il numero 700 ha caratteristica 2 (in rosso) e mantissa 0,8451 (in verde):



Nella riga inferiore mi occupo invece di un numero più piccolo dell'unità: il procedimento è lo stesso, ma si presenta una complicazione in più: siccome il logaritmo sarà negativo, la parte decimale diventa il complemento della mantissa; in pratica il 0,8451 diventa 0,1549 (in grigio, a destra). Per ovviare a questo problema (soprattutto per evitare probabili errori) i logaritmi minori di zero si indicano in modo diverso:



La mantissa rimane invariata, e il -5 della caratteristica viene indicato come un 5 con una lineetta sopra. In questo modo il logaritmo rimane "positivo", ma bisogna considerare che la caratteristica (la sola parte intera) in realtà è negativa.

Proviamo ora a fare dei calcoli con questi numeri:



Nei calcoli che seguono, i numeri in grigio sono i logaritmi; in verde i valori reali delle varie operazioni, in rosso i valori calcolati tramite i logaritmi:



Considerando che ho utilizzato logaritmi con solo 4 cifre di mantissa, non c'è davvero male!   ▲  

I logaritmi "Naturali"

I logaritmi Naturali o Neperiani sono costruiti su una base diversa dal 10 di Briggs; la base è un numero che si identifica con la lettera e:



il quale si ottiene calcolando la seguente espressione:



Questa espressione ci dice che il numero e va calcolato (semplifico!) elevando all'infinitesima potenza un numero che è di un infinitesimo più grande dell'unità! Il risultato è quello che ho scritto sopra: fidatevi.

E da dove salta fuori questo strano numero? La "colpa" è di Leonhard Euler (detto Eulero in italiano, 1707-1783), che è stato uno dei massimi matematici mai esistiti (è uno dei tre cosiddetti principi della matematica assieme ad Archimede di Siracusa e a Gauss, con cui abbiamo già avuto a che fare in questa storia dell'aritmetica). Eulero ha dato un contributo fondamentale all’analisi matematica che è quella parte della matematica che si occupa di derivate, integrali ed equazioni differenziali. Lui scoprì che questo numero infernale saltava fuori da tutte le parti; in matematica è altrettanto fondamentale quanto il pi greco, che lega il diametro alla circonferenza del cerchio. A proposito di pi greco: fu proprio Eulero a "battezzare" i seguenti numeri:

— π (pi greco): non ci crederete, ma c’è voluto il diciottesimo secolo per dare il nome definitivo a questo numero conosciuto fino dall’antichità. Pare che Eulero, attribuendogli questa lettera greca, volesse rendere omaggio ad Archimede.

— i (la lettera i minuscola): il valore della radice quadrata di -1, ossia l’unità immaginaria (di cui parlo qui).

— e (la lettera e minuscola): il numero di cui stiamo parlando. Qui pare che la magnanimità di Eulero sia stata un po’ meno marcata, in quanto questa "e" assomiglia molto all’iniziale del suo cognome...

Ma cosa c'entra questo numero e con Nepero? Rivediamo la sua formula dei logaritmi:



Se facciamo una moltiplicazione e una divisione per 10000000 (numeri in verde) otteniamo l'espressione di destra, che è una nuova formula per il calcolo dei logaritmi derivata direttamente da quella di Nepero.



Insomma la parte rossa dell'espressione sopra, che riporto qui di seguito per chiarezza



assomiglia moltissimo a quest'altra espressione:



Il cambio di segno dentro la parentesi ha comportato di ottenere 1/e invece di e; per il resto, Nepero non ha utilizzato un valore n infinito, ma si è "limitato" al valore 10000000, che è già "abbastanza" grande da dare risultati soddisfacenti.

Nepero, senza saperlo, aveva inventato una base per i suoi logaritmi strutturalmente simile al valore e di Eulero: per questo si ascrive a Nepero la paternità del numero, e si dicono Neperiani i logaritmi calcolati con questa base. Certo è che Nepero non poté neanche sospettare l’importanza che avrebbe avuto questo numero nell’analisi...   ▲  

Usi "quotidiani" dei logaritmi

Forse non lo sapete, ma le scale che misurano i seguenti fenomeni:

— La magnitudo delle stelle (indice della loro luminosità);

— L'indice pH di attività dello ione idrogeno (misura dell'acidità);

— La scala Richter (misura dell'intensità dei terremoti);

— i decibel che misurano l'intensità delle onde sonore;

sono tutte scale logaritmiche, ovvero misurano il logaritmo del rapporto fra ciò che viene misurato e un valore standard preso come riferimento. Vediamo queste scale da vicino.

La moderna scala delle magnitudini è stata scelta in modo che (semplificando), scelta una stella molto luminosa a cui dare magnitudo 0 (è stata scelta Vega, nella costellazione della Lira), la magnitudo 5 corrisponda a una luminosità 100 volte inferiore. Detto in formula:



in cui il segno meno fa sì che la magnitudo aumenti quando la stella è meno luminosa; M è la magnitudo calcolata; F è il flusso di luce della stella che stiamo osservando; V è la luminosità di Vega; e il valore 2,5 serve per far sì che una stella 100 volte meno luminosa di Vega abbia proprio magnitudo 5.

Con questo modo di indicare la luminosità delle stelle, è sicuramente più facile dire che la massima luminosità di Plutone è di magnitudo 13,65, piuttosto che dire che Plutone ha una luminosità duecentottantottomilaquattrocento (288400) volte inferiore a Vega!

In televisione non c'è pubblicità di cosmetici che non tenga a farci sapere il pH delle varie creme... ma alzi la mano chi sa esattamente cosa sia il pH!

Il pH fu ideato dal chimico danese Søren P. L. Sørensen nel 1909, il quale stava affrontando alcuni problemi relativi al processo di fermentazione della birra. Questo processo richiede un controllo molto accurato dell'acidità dei mosti, la quale, a quel tempo, veniva espressa attraverso la concentrazione degli ioni idrogeno presenti in soluzione. Questi ioni, normalmente, sono in quantità molto piccola, anche inferiori a una parte per milione. Sørensen si rese conto che i calcoli si sarebbero di molto semplificati facendo riferimento al solo esponente del valore della concentrazione, anziché a tutto il numero. Propose quindi di chiamare questo esponente pH, dove p sta per potenza (cioè esponente del 10, dal latino pondus) e H sta per idrogeno, o meglio, per ione idrogeno, (dal latino Hydrogenii).

Oggi, il pH viene definito come l'opposto del logaritmo della concentrazione molare degli ioni idrogeno. Pertanto:



La concentrazione suddetta permette di definire il grado di acidità o basicità della soluzione. Il pH può assumere valori appartenenti all’intervallo 1-14; ma siccome stiamo parlando di logaritmi, fra il valore 1 e il valore 14 ci sono 13 cifre, o posizioni decimali, di differenza!

Risulta quindi molto più facile esprimersi in termini di pH rispetto all'effettiva concentrazione dello ione idrogeno; e si hanno soluzioni acide se il loro pH è compreso fra 1 e 6, neutre se il valore è 7 (come l'acqua distillata), basica fra 8 e 14.

Anche la magnitudo dei terremoti, così come indicata dalla scala Richter, ha a che fare con i logaritmi. Tale scala si basa sulla potenza equivalente del sisma, misurata in chili di tritolo. Quindi la magnitudo 0 equivale a un chilo di tritolo; poi ogni salto di due magnitudo equivale a moltiplicare la quantità di tritolo per 1000:



Anche in questo caso è più facile dire "Terremoto del sesto grado della scala Richter", piuttosto che "sisma dalla potenza equivalente a un milione di tonnellate di tritolo"!

Il Bel è il logaritmo decimale del rapporto fra due potenze; il decibel (dB) è lo stesso valore, ma moltiplicato per 10. Quindi:



in cui w2 è l'intensità sonora misurata, mentre w1 è l'intensità di riferimento standard. Quest'ultima è stabilita come il livello minimo di potenza sonora che sia percepibile dall’orecchio umano. Quindi se la potenza da misurare W2 è uguale a quella di riferimento, allora il rapporto W2/W1 è uguale a 1, e il logaritmo è 0. Se la potenza fosse cento volte superiore a quella di riferimento, il logaritmo varrebbe 2, quindi i dB di potenza sarebbero 20.

I decibel sono molto pratici proprio perché una variazione di 10dB comporta un aumento della potenza di 10 volte, mentre a un raddoppio di potenza corrispondono circa 3dB. E tutto questo è molto più pratico che esprimersi in termini lineari (cioè non logaritmici): per esempio a 43dB corrisponderebbe una potenza 19953 volte maggiore a quella di riferimento; 57 dB a 501187 volte: numeri così grandi danno indicazioni sicuramente meno intuitive rispetto ai dB (almeno a coloro che ne hanno una certa abitudine).   ▲  

Conclusioni, e una "perla" letteraria

Nepero, il creatore della teoria dei logaritmi, aveva previsto correttamente che i suoi risultati avrebbero rivoluzionato il mondo scientifico dell'epoca. Pierre-Simon de Laplace (importantissimo matematico, fisico e astronomo francese, 1749-1827) scrisse che Nepero aveva "raddoppiato la vita degli astronomi": i logaritmi hanno semplificato moltissimo lo svolgimento dei calcoli, consentendo agli scienziati di perderci molto meno tempo. Non solo: questa nuova tecnica di calcolo ha anche favorito lo sviluppo dei commerci e delle attività imprenditoriali, in sostanza sulla nascita del mondo industriale a partire dalla seconda parte del XVII secolo.

Un'ultima curiosità: nel racconto "Avventure di tre russi e tre inglesi nell'Africa australe" di Jules Verne, c'è un personaggio, tale Nicolas Palander, che è talmente assorto nei suoi pensieri che non si accorge di essere circondato da una quantità di coccodrilli piuttosto affamati. I suoi compagni di avventure riescono in qualche modo a scacciarli sparando qualche fucilata. Al sentire gli spari, il Palander riconosce i suoi compagni e si mette a correre verso di loro, agitando il bloc notes che aveva in mano ed esclamando, come l'antico filosofo:

— Eureka! Ho trovato!
— Trovato cosa? — chiedono gli amici
— Un errore di decimale nel centotreesimo logaritmo nelle tabelle di James Wolston!

Verne ci spiega poi che con questa scoperta avrebbe incassato il premio di cento libbre messo in palio dall'editore di quelle tavole di logaritmi...

... peccato che di questo James Wolston io non sia riuscito a trovare traccia da nessuna parte. Certo è che Henry Briggs, il primo ad aver compilato tavole complete di logaritmi, aveva messo realmente in palio una somma da versare a chi avesse trovato errori nelle sue tavole: un ottimo sistema per farsele correggere da qualcun altro!   ▲  

Prossimo capitolo: il Regolo Calcolatore