I Numeri Transfiniti

Comincia qui una spiegazione che inizia con qualche considerazione sui numeri naturali, la loro "quantità" e la ricerca di vari tipi di insiemi infiniti. Il tutto con il racconto dei personaggi, delle conquiste e, purtroppo, dei clamorosi fallimenti: è un racconto a tratti davvero avvincente.

Sommario:

– I numeri Naturali
      Insiemi e "corrispondenza biunivoca"
      Numeri infiniti
      Aleph-zero
      Infiniti "più piccoli"?
      Numeri Transfiniti
      Intermezzo: l'albergo con infinite stanze
+ Ancora Aleph-zero
+ Il contesto storico
+ Oltre Aleph-zero: il Continuo
+ L'ipotesi del Continuo

Insiemi e "Corrispondenza Biunivoca"

La teoria degli insiemi non mi è stata insegnata a scuola: solo quando è diventata "di moda" ho cominciato a chiedermi a cosa servisse. Tutte quelle infinite definizioni come "unioni", "intersezioni", funzioni "iniettive" e "suriettive"... mi sembravano solo un modo di vessare i poveri studenti. Insomma non ne ho vista l’utilità pratica fino a quando non mi sono imbattuto nello studio dell’infinito, per il quale studio in realtà sono sufficienti due soli concetti: quello di insieme, appunto, e quello di "corrispondenza biunivoca".

Un insieme è una collezione di oggetti di vario genere, tutti diversi (o almeno, distinguibili) l’uno dall’altro. Per fare un esempio, posso considerare che la mia mano sinistra sia l’insieme delle sue cinque dita, e la mano destra l’insieme di altre cinque dita.

Domanda: come posso fare per stabilire se questi due insiemi (le mani) contengono lo stesso numero di elementi (dita)? Posso contarli:



Oppure posso mettere in correlazione ciascun dito della mano sinistra con il rispettivo dito della mano destra:



In quest’ultimo caso ho messo in atto il concetto di "corrispondenza biunivoca": ad ogni elemento (dito) del primo insieme (mano sinistra) corrisponde uno ed un solo elemento (dito) del secondo insieme (mano destra), e viceversa. Avendo unito le dita delle due mani come si vede nella foto, posso affermare senza ombra di dubbio che la "potenza", o "cardinalità", o più semplicemente il numero di elementi contenuto da ciascuno dei due insiemi, è lo stesso. Non occorre contarli, non occorre affatto sapere quanti sono; la domanda era: hanno i due insiemi lo stesso numero di elementi? La risposta è senz’altro: Sì.

Se invece alla mano sinistra mancassero due dita:



la corrispondenza biunivoca non ci sarebbe più. Le dita della mano sinistra troverebbero la loro corrispondenza nelle rispettive dita della mano destra, ma qualche dito della mano destra non lo troverebbe più nella mano sinistra: ecco quindi che, anche non sapendo quante dita (elementi) contiene ciascuna mano (insieme), posso affermare che la mano destra ha una "potenza", o "cardinalità", o un numero di elementi, superiore alla mano sinistra.

Tutto quanto detto finora è intuitivo, direi quasi banale, perché ci siamo occupati di insiemi non solo finiti, ma di insiemi di cui è facile contare il numero di elementi. Facciamo invece un esempio con insiemi più grandi (ma sempre finiti). Ammettiamo di radunare in un una piazza una quantità molto grande di persone, e di voler stabilire se ci sono più maschi o più femmine. Siccome le persone sono tante...



... mi è impossibile contarle senza commettere errori, tanto più se, come è probabile, non se ne staranno ferme. Allora posso chiedere loro di mettersi a coppie: ciascun maschio dovrà trovare una femmina con cui tenersi per mano. A questo punto basta vedere se "avanzano" maschi (che quindi risulterebbero essere in maggior numero delle femmine) o femmine (sarebbero in numero maggiore dei maschi); se non ci sono avanzi, vuol dire che il numero dei due gruppi è esattamente lo stesso. Di nuovo: non so quanti sono gli elementi di ciascun insieme (maschi / femmine) ma ho stabilito quale insieme è il più grande, o se hanno la stessa potenza e sono quindi equipotenti.   ▲  

Numeri Infiniti

Parliamo ora di numeri. Impariamo a contare dalla più tenera età, e scopriamo che esiste sempre un numero "più grande". Quando riusciamo a contare fino a cento, scopriamo subito che c’è anche il centouno. Fino al mille, e c’è il milleuno! Intuiamo presto che non ci sarà mai fine: magari non sapremo "come si chiama", ma ci sarà sempre un numero più grande di qualunque numero riusciamo ad immaginare. Ecco, abbiamo trovato il più classico esempio di "insieme infinito": l’insieme dei numeri naturali.

E qual è la cardinalità dell’insieme infinito dei numeri naturali? Non posso certo dire quanti numeri contiene, perché sono infiniti; e dire che questa cardinalità è infinito non sarebbe di nessuna utilità, in quanto "infinito" non è un numero.   ▲  

Aleph-zero

Per risolvere questo problema Georg Cantor (1845 – 1918), il padre della teoria degli insiemi, ha deciso di identificare la cardinalità dell’insieme dei numeri naturali con un simbolo costituito dalla prima lettera dell’alfabeto ebraico, Aleph, e dall’indice 0:



A differenza del nome "infinito", il valore Aleph-zero assume piena dignità di numero, tant’è che su questo e altri numeri del genere si possono fare particolari calcoli aritmetici.   ▲  

Infiniti "più piccoli"?

Tornando ai nostri numeri naturali, possiamo adesso inventarci un altro insieme infinito, quello che contiene i soli numeri pari. Apparentemente un insieme in cui mancano tutti i numeri dispari dovrebbe avere una potenza minore rispetto all’insieme di tutti i numeri naturali. Ma sarà vero?

Essendo infiniti, è ovvio che non posso "contare" gli elementi di ciascuno di questi insiemi. Però posso ricorrere al concetto di corrispondenza biunivoca; e grazie a questo stratagemma stabilire se veramente l’insieme dei soli numeri pari sia più piccolo dell’altro, più o meno come avevo fatto con le mie mani di tre e cinque dita.

Allora scrivo su due colonne i numeri dei due insiemi: a sinistra i numeri naturali, a destra i numeri pari; su ogni riga compare quindi un numero (a sinistra) e il suo doppio (a destra), e il trattino sta a rappresentare la corrispondenza fra gli elementi di ciascun insieme:

1 — 2
2 — 4
3 — 6
4 — 8
........

Evidentemente ciascuno dei numeri naturali dell’insieme di sinistra trova il suo corrispondente nel suo doppio nell’insieme di destra; e ciascun numero pari dell’insieme di destra trova il suo corrispondente nel numero metà dell’insieme di sinistra. Fra i due insiemi c’è uno stato di corrispondenza biunivoca, quindi hanno la stessa potenza!

Posso ripetere lo stesso procedimento con i numeri quadrati, mettendo in corrispondenza i numeri naturali con i loro quadrati:

1 — 1² = 1 x 1 = 1
2 — 2² = 2 x 2 = 4
3 — 3² = 3 x 3 = 9
4 — 4² = 4 x 4 = 16
........

I numeri quadrati sono ancora più "radi" dei numeri pari... eppure anche il loro insieme ha la stessa potenza dei numeri naturali. Proprio in questo ragionamento si imbatté Galileo Galilei, che nel "Dialogo sopra i due massimi sistemi del mondo" dice: "nel numero infinito, se concepir lo potessimo, bisognerebbe dire, tanti essere i quadrati tanti i numeri insieme". In pratica intuisce il principio per cui un insieme infinito ha la stessa potenza di una sua parte, dicendo che "i quadrati non sono in numero inferiore degli interi"; ma non si spinge a dire che siano proprio in numero uguale: infatti conclude "gli attributi di eguale maggiore e minore non hanno luogo ne gl’infiniti, ma solo nelle quantità terminate".

Voglio ora fare un altro esempio, che metto solo per cercare di spiegare quanto può essere grande... un numero grande! Creiamo un altro insieme di numeri, non pari, non quadrati, ma neanche cubi o di altre potenze: creiamo l’insieme dei numeri cosiddetti fattoriali. I quali sono il prodotto di tutti i numeri interi compresi fra 1 e il numero dato (i numeri fattoriali si indicano con il punto esclamativo):

1 — 1! = 1
2 — 2! = 1 x 2 = 2
3 — 3! = 1 x 2 x 3 = 6
4 — 4! = 1 x 2 x 3 x 4 = 24

I numeri salgono molto velocemente. Facciamo qualche altro esempio:

5 — 5! = 1 x 2 x 3 x 4 x 5 = 120
6 — 6! = 1 x 2 x 3 x 4 x 5 x 6 = 720
......
59 — 59! = 1 x 2 x 3 x 4 x ... x 58 x 59 = circa 1 seguito da 80 zeri.

Ecco, quest’ultimo numero, un 1 seguito da 80 zeri... è circa pari al numero totale di atomi che compongono l’intero universo. Cioè stiamo mettendo in corrispondenza il numero 59, un numero semplice, di uso direi quotidiano, con uno dei massimi numeri che abbiano un qualche significato fisico in natura! E andando avanti con numeri maggiori, otteniamo risultati praticamente impossibili da scrivere... riuscite a immaginarli?

   60 —     60!  = circa 8 seguito da 81 zeri, 80 volte il numero di atomi dell’universo
   61 —     61!  = circa 5 seguito da 83 zeri, 5000 volte il numero di atomi dell’universo
  100 —   100!  = circa 9 seguito da 157 zeri
1000 — 1000!  = circa 4 seguito da 2567 zeri
....

Insomma vengono numeri che non hanno più niente di confrontabile con qualsiasi cosa di reale. Notare che nell’insieme di sinistra siamo arrivati solo al mille; ma se mettessimo un miliardo, questo numero troverebbe tranquillamente il suo corrispondente nell’insieme dei numeri fattoriali... anche se non so neanche immaginare quante cifre possa avere il fattoriale di un miliardo!

Nonostante questo, gli insiemi dei numeri naturali e dei numeri fattoriali sono indubbiamente equipotenti e hanno quindi la stessa cardinalità.   ▲  

Numeri Transfiniti

Con questi discorsi abbiamo intuito che non è possibile trovare un sottoinsieme dei numeri naturali che sia infinito ma che abbia potenza minore dei numeri naturali stessi. In pratica l’insieme dei numeri naturali è il più piccolo insieme infinito esistente, la cui cardinalità, come dicevamo è identificata dal simbolo Aleph-0. Aleph-0 è il primo dei numeri cosiddetti "transfiniti". Procederemo nel prossimo capitolo alla (per il momento) vana ricerca di quelli successivi, relativi a infiniti "più grandi"... ma adesso facciamo un intermezzo!

Intermezzo: l'albergo con infinite stanze



L'altro giorno sono entrato in quest'albergo che vantava di avere... infinite stanze. Quando mi hanno detto che erano tutte occupate, ho chiesto se non si potesse fare qualcosa: il portiere ci ha pensato su, e poi ha chiesto a tutti gli ospiti dell'albergo di spostarsi nella stanza di numero uguale a quella che stavano occupando più uno. Così l'ospite della stanza numero uno è andato nella due, quello della due nella tre e così via: come per incanto è rimasta libera la stanza numero uno, che ho occupato felicemente non senza aver prima elargito un'adeguata mancia al portiere.

Il giorno dopo è arrivato un pullman con 1000 turisti, ma l'albergo era sempre pieno: il portiere ha ripetuto il giochetto, chiedendo a tutti gli ospiti di spostarsi nella stanza di numero uguale a quella già occupata più mille. Mi sono ritrovato nella stanza 1001.

Il giorno dopo ancora è arrivato un altro pullman, questa volta con infiniti turisti a bordo. Impossibile trovare alloggio per tutti? Macché: a ogni ospite dell'albergo è stato chiesto di spostarsi nella stanza di numero uguale al doppio di quella occupata. Si sono così liberate tutte le stanze dispari, in cui hanno trovato posto i nuovi arrivati; per quanto riguarda me, mi sono ritrovato nella stanza 2002 (in quest'albergo non si sta mai tranquilli!).

Il giorno dopo ancora, gli infiniti ospiti del pullman del giorno prima se ne sono andati. A questo punto il portiere (che ho scoperto essere anche il proprietario dell'albergo) si è messo a imprecare, e diceva: "come si fa a mandare avanti un albergo come questo, se metà delle stanze sono vuote?"

Gli ho suggerito io la soluzione: basta che ciascun ospite torni nella stanza metà di quella che occupava (in pratica tornando alla situazione precedente all'arrivo degli infiniti turisti). Paradossi dell'infinito...

Per questa storiella mi sono ispirato al racconto "L'hotel straordinario, o il milleunesimo viaggio di Ion il Tranquillo" di Stanislaw Lem, pubblicato nel libro "Racconti matematici" edito da Einaudi. [Lem è anche l'autore del romanzo di fantascienza "Solaris", dai cui è stato tratto l'omonimo film del 1972].

Prossimo capitolo: Ancora Aleph-zero

Ottica: Etere Luminifero

Sommario:

+ Introduzione
+ Riflessione
+ Rifrazione
+ Diffrazione
+ Cannocchiale e Aberrazione sferica
+ Dispersione e Telesopio di Newton
– Etere Luminifero
      Il vuoto
      Il barometro di Torricelli
      Otto von Guericke
      Propagazione delle onde
      Onde Longitudinali
      Onde Trasversali
      La Luce: onde o corpuscoli?
      Fisica nel Vuoto
+ Birifrangenza e Polarizzazione
+ Interferenza
+ L'arcobaleno

Il vuoto

Il vuoto è qualcosa che ha incuriosito i "filosofi della natura" fin dalla più remota antichità... e non è che gli scienziati di oggi ne sappiano proprio tutto tutto tutto! (leggete qui sotto per qualche considerazione aggiuntiva sul vuoto, anche se un po' fuori tema).

Il personaggio forse più notevole della Grecia antica è Democrito, proprio quello che già aveva immaginato gli atomi. Ebbene, per lui questi si spostavano liberamente nel vuoto, muovendosi di moto rettilineo uniforme fino a quando non andavano ad urtare altri atomi (con questo anticipava di quasi duemila anni il moderno principio d'inerzia).

Purtroppo la teoria di Democrito fu eclissata da quel mostro sacro di Aristotele. Secondo il quale il moto dei corpi era dovuto non alla propria inerzia, o come si direbbe oggi alla sua quantità di moto; piuttosto la causa del movimento dei corpi era nel "mezzo" in cui essi si muovevano: secondo Aristotele un proiettile, una volta scagliato, proseguirebbe nel moto perché spinto dall'aria che continuamente si precipita ad occupare il vuoto lasciato dal proiettile al suo passaggio.

Secondo Aristotele, inoltre, la velocità dei corpi era inversamente proporzionale alla densità del mezzo che attraversavano, per esempio più veloci nell'aria che nell'acqua. Conclusione: il vuoto, al quale ovviamente corrisponde una densità nulla, avrebbe significato velocità infinita; il che era impossibile. Da qui la convinzione aristotelica dell'impossibilità del vuoto : "Natura abhorret a vacuo&!"

L'argomento del vuoto fu affrontato anche nel mondo arabo, da due dei più noti personaggi dei secoli XI e XII secolo: Avicenna, che in qualche modo riprendeva le idee di Democrito; e Averroè che, avendo scritto numerosi commenti sulle opere di Aristotele, più o meno ne ricalcava le posizioni.   ▲  

Il barometro di Torricelli

Come si sa le idee di Aristotele pervasero la storia della scienza fino a tutto il XVI secolo. Persino Galileo aveva problemi ad ammettere il vuoto, mentre Cartesio, ancora nel 1644, nei suoi Principia Philosophiae sosteneva l'inesistenza del vuoto. Ma in quello stesso anno Evangelista Torricelli, collaboratore di Galileo, fece il celeberrimo esperimento con cui inventò il barometro:



Torricelli riempì con del mercurio un tubo di vetro lungo circa un metro e sigillato a un'estremità, poi lo capovolse in modo che l'imboccatura si immergesse in una bacinella contenente lo stesso materiale. Il risultato è noto: il livello del mercurio nella provetta scende fino a portare in equilibrio le forze dovute alla pressione atmosferica (A) e al peso del mercurio (Hg). La grande novità era... il volume della provetta in alto, non più riempito da mercurio: che cosa ci poteva esserci lì dentro? Assolutamente niente... ecco, lì era stato creato il vuoto!   ▲  

Otto von Guericke

L'esperimento di Torricelli fece il giro d'Europa in brevissimo tempo, anche perché era una esperienza relativamente facile da replicare. E qui entra in gioco un altro personaggio notevole, Otto von Guericke (1602-1686): fu un politico, giurista e scienziato tedesco, che nel 1650 inventò la prima pompa in grado di creare il vuoto (una specie di pompa da biciclette, ma con il funzionamento invertito).

Von Guericke si rese subito conto delle enormi forze provocate dalla pressione atmosferica, e trovò un modo molto scenografico di dimostrarle:



Fece infatti costruire due semisfere in bronzo, le unì grazie a una guarnizione e produsse il vuoto al loro interno per mezzo della pompa che aveva inventato. Disposte otto coppie di cavalli, quattro per parte, non fu possibile separare le semisfere; ma poi, fatta rientrare l'aria all'interno, le due semisfere si separarono da sé!

Von Guericke, oltre a mettere in atto questo e altri esperimenti, investigò le proprietà del vuoto: per esempio scoprì che una candela nel vuoto si spegne, e che gli animali non riescono a sopravviverci. Ma la scoperta cruciale dal punto di vista dell'ottica fu la seguente:



con un esperimento simile a questa foto, si rese conto che la luce poteva attraversare il vuoto, ma il suono no; rumori generati all'interno di un contenitore in cui fosse generato il vuoto non si propagavano all'esterno.   ▲  

Propagazione delle onde

Certo ora sarebbe andare un po' troppo fuori tema se parlassi del suono... comunque qualche accenno lo considero necessario.

Gli studi iniziano nell'antica Grecia, già a partire da Pitagora che studia i rapporti numerici fra le altezze delle note: Pitagora metterà poi questi rapporti in relazione con le grandezze delle sfere celesti, da cui la famosa "armonia delle sfere"!

Il primo moderno ad occuparsene fu, manco a dirlo... Galileo Galilei, forse anche perché suo padre Vincenzo era un compositore e teorico musicale. Fra le altre cose, Galileo studiò le corde vibranti e riconobbe il legame fra altezza del suono e la sua frequenza. Nello stesso periodo, proprio quel Marin Mersenne che abbiamo incontrato al tempo della disputa fra Fermat e Cartesio a proposito della rifrazione della luce, misura la velocità del suono nell'aria. E il Von Guericke? Dopo avere scoperto che il suono non si propaga nel vuoto, scoprì che invece lo faceva molto bene sia nei liquidi che nei solidi.

Per quanto riguarda la propagazione del suono, c'era la convinzione praticamente unanime sul fatto che si trattasse di onde; le quali si propagano sempre in un mezzo, qualunque esso sia... e proprio la scoperta che il suono non si propaga nel vuoto ne era un'ulteriore prova.   ▲  

Onde longitudinali

Eccoci a parlare di onde... ma cosa sono esattamente? Ne esistono di un solo tipo?

Cominciamo dal caso più semplice: la propagazione del suono nell'aria. Ammettiamo che l'aria sia fatta da una serie di "bolle" che si sfiorano l'una con l'altra; causando un movimento nella prima bolla, tale movimento si propaga a quelle vicine:


Questo è a grandi linee ciò che succede nella propagazione del suono nell'aria, in cui le onde si propagano in modo "longitudinale", cioè la perturbazione si propaga nella stessa direzione in cui si muovono le bolle stesse.

A proposito della nostra fila di bolle però possiamo generare un altro tipo di movimento:



Qui il movimento viene generato in direzione perpendicolare alla linea di propagazione che vogliamo studiare. La bassa viscosità dell'aria fa sì che questo movimento venga propagato di pochissimo alle bolle adiacenti, di fatto impedendo a questo tipo di perturbazione di propagarsi.   ▲  

Onde trasversali

Ma se invece dell'aria usiamo una barra metallica? Ebbene, tirando una martellata in senso longitudinale, la vibrazione si propaga più o meno come nell'aria. Se il colpo viene dato in senso trasversale alla barra metallica, si ottiene invece un effetto molto più significativo che nell'aria:



La martellata data in questo modo genera un'onda "trasversale", cioè un'onda in cui la perturbazione si propaga in modo perpendicolare rispetto al movimento delle singole parti della barra di metallo. Detto in altre parole, i singoli pezzetti della barra oscillano sulla loro posizione verticale, mentre la perturbazione trasla da sinistra a destra, in orizzontale.

Nei liquidi, e ancor più nei solidi, le onde longitudinali e trasversali coesistono senza problemi. E questo è proprio ciò che accade anche nei terremoti!   ▲  

La Luce: onde o corpuscoli?

Abbiamo parlato di vuoto, di onde che non si propagano nel vuoto, e che si muovono in modo longitudinale o trasversale a seconda del mezzo in cui si propagano... ora non resta che tornare a parlare della Luce.

A questo punto le ipotesi sulla natura della luce sono ben tre:

— La luce è costituita da corpuscoli (Newton), e questo ne giustifica la propagazione nel vuoto;

— La luce è costituita da onde longitudinali (Huygens), il quale spiega in questo modo alcuni fenomeni come riflessione e rifrazione. Tali onde si propagherebbero in un "Etere Luminifero" che permea tutto l'universo: morbido quanto basta per non essere avvertito in altro modo, ma con altre caratteristiche "su misura" tali da giustificare la trasmissione della luce;

— La luce è costituita da onde trasversali. Per il momento nessuno la considera un'ipotesi plausibile, perché questo tipo di onde richiederebbe un tipo di etere "solido": per giustificare la velocità di propagazione della luce, che ancora non era stata misurata ma che si sapeva comunque essere molto elevata, ci sarebbe voluto un etere più duro dell'acciaio, e al contempo "sottile" al punto da non essere avvertito.   ▲  

La fisica del vuoto

Questa sezione è un po' fuori tema, ma devo giustificare la mia frase impertinente, secondo cui i fisici non avrebbero ancora capito proprio tutto tutto del vuoto. Qui di seguito descrivo alcuni fatti che, per quanto apparentemente bizzarri e difficili da "digerire", sono stati davvero verificati!

In nessun angolo dell'universo si può dire che esista uno spazio totalmente vuoto. Se anche non contenesse neanche un atomo, una certa regione di spazio sarebbe comunque attraversata da fotoni di luce, neutrini, campi gravitazionali, e chissà quante altre cose.

Ammettiamo per ipotesi di riuscire a realizzare una camera a vuoto totalmente priva di materia al suo interno. Le pareti della camera a vuoto comunque emettono luce sotto forma di raggi infrarossi; allora si può dire che il vuoto ha una particolare temperatura, ovvero una certa quantità di energia: non possiamo ancora dire di aver ottenuto un vuoto perfetto.

Ammettiamo allora di portare la camera a vuoto a una temperatura pari allo zero assoluto: in queste condizioni i fotoni non vengono più generati, quindi saremmo tentati di dire che abbiamo finalmente ottenuto uno spazio completamente vuoto, privo sia di particelle che di energia. Ma a causa del principio di indeterminazione di Heisenberg, l'energia non può non essere soggetta a fluttuazioni: ecco quindi un ribollire di coppie di particelle virtuali, che nascono e si annichiliscono in continuazione.

Insomma il vuoto viene interpretato dalla meccanica quantistica come un equilibrio dinamico di particelle di materia e di antimateria in continua generazione e annichilazione. Ciascuna di queste particelle va interpretata secondo la dualità onda-particella... per cui ecco, proprio a proposito di onde, è giunto il momento di descrivere un fatto teorico (verificato dalle esperienze di laboratorio) veramente straordinario!


In uno spazio vuoto di dimensioni infinite, qualsiasi particella, reale o virtuale che sia, può vibrare a qualsiasi lunghezza d'onda. Ma in uno spazio limitato, come in una camera a vuoto, le onde-particelle possono vibrare solo a lunghezze d'onda che siano multiple e sottomultiple della distanza fra le pareti.

Immaginiamo allora la seguente situazione: all'interno della camera a vuoto poniamo una coppia di placche conduttrici, molto vicine fra loro. Le onde che si possono generare fra le placche (quindi in uno spazio stretto) sono soggette a maggiori vincoli rispetto a quelle che si generano in tutto il resto della camera a vuoto; in altre parole, sono molte di più le lunghezze d'onda consentite all'esterno delle placche che al loro interno:



Questo vuol dire che la densità di energia all'esterno delle placche è superiore alla densità presente al loro interno, cosa che si traduce in una differenza misurabile di pressione: questo fenomeno ha il nome di "effetto Casimir", dal nome del fisico olandese Hendrik Casimir (1909-2000).

Ricapitolando, se in una camera a vuoto mettiamo due placche sufficientemente vicine, si riesce a misurare una differenza di pressione fra l'interno e l'esterno delle placche stesse. Ma come può il vuoto generare una differenza di pressione fra un "dentro" e un "fuori" che sono in comunicazione fra loro? Misteri... della meccanica quantistica!

Dell'effetto Casimir sono state fatte varie misurazioni sperimentali; ma date le difficoltà pratiche (dovute alle distanze fra le placche, che devono essere nell'ordine del millesimo di millimetro, e al bassissimo valore delle forze in gioco) la conferma definitiva non si è avuta prima del 1997: il Casimir ha quindi fatto in tempo a vedere confermata la sua teoria!   ▲  

Prossimo capitolo: Birifrangenza e Polarizzazione

Ottica: Cannocchiale e Aberrazione sferica

Sommario:

+ Introduzione
+ Riflessione
+ Rifrazione
+ Diffrazione
– Aberrazione sferica e Cannocchiale
      Cannocchiale
      Microscopio
      Aberrazione sferica
      Lenti asferiche
+ Dispersione e telescopio di Newton
+ Etere Luminifero
+ Birifrangenza e Polarizzazione
+ Interferenza
+ L'arcobaleno

Il cannocchiale

All'inizio del secolo XVII in Olanda vennero costruiti i primi telescopi. In realtà avevano più uso di cannocchiale terrestre che di strumento astronomico: il loro pessimo potere risolutivo, e il fatto di essere stati costruiti da "vili meccanici" (per parafrasare il Manzoni), ovvero artigiani occhialai, fecero sì che il mondo accademico tendesse a rifiutare questi oggetti che, oltre ad essere appunto di estrazione "plebea", distorcevano le immagini e non davano nessuna garanzia di rigore scientifico.

Galileo Galilei è considerato per molti versi il padre della scienza moderna, e questo è tanto più vero per quanto riguarda l'astronomia: studiò i problemi ottici dei telescopi, non disdegnò di realizzare le lenti necessarie per proprio conto (le attività manuali non erano considerate un'occupazione degna dagli studiosi della sua epoca) e nel 1609, costruito finalmente un telescopio di qualità sufficiente, lo puntò verso il cielo.



Certamente anche questo primo telescopio di Galileo era imperfetto; tuttavia gli consentì di portare a termine una campagna di osservazioni sistematiche che confluirono nella pubblicazione, nel 1610, del libro "Sidereus Nuncius", in cui appunto "annuncia" le sue scoperte. Scoperte non da poco:

— La Luna non è perfettamente sferica: ha delle "montagne" che in condizioni di luce radente (es. all'alba lunare) danno luogo a una linea di confine luce-ombra molto frastagliata. Con questo confuta le teorie antiche secondo cui tutti i corpi celesti dovevano essere perfettamente sferici.

— Giove possiede quattro satelliti: altra confutazione delle teorie antiche, secondo le quali il moto circolare di tutti i corpi celesti doveva essere centrato sulla Terra.

— La Via Lattea è costituita da miriadi di stelle; e anche il resto dell'universo ne contiene molte più di quante fossero mai state osservate in precedenza.



(Da sinistra: la Luna in un disegno originale di Galileo, pubblicato proprio nel "Sidereus Nuncius"; una fotocomposizione della Nasa di Giove con la sua macchia e, dall'alto, i satelliti Io, Europa, Ganimede e Callisto; infine, sempre dal sito della Nasa, la Via Lattea).

... e questo è solo l'inizio! In scritti successivi Galileo esporrà le sue osservazioni su Mercurio e Venere, le cui fasi possono essere giustificate solo ammettendo la loro rotazione intorno al Sole, e non alla Terra (ulteriore confutazione del Geocentrismo); descriverà la "strana forma" di Saturno (ci vorrà Huygens per identificare questa strana forma con i celebri anelli).

Galileo fu anche il primo ad osservare il pianeta Nettuno, nel dicembre 1612. Per pura coincidenza, in quel momento il moto apparente di Nettuno era quasi nullo, in quanto stava proprio "invertendo" la propria marcia per iniziare una fase di "moto retrogrado". Galileo quindi lo scambiò per una stella fissa... insomma Nettuno dovrà attendere fino al 1846 per essere scoperto definitivamente!

Naturalmente dopo questi annunci tutti gli scienziati dell'epoca cercarono di procurarsi un telescopio, anche se la cosa non era facile, infatti erano pochissimi gli artigiani in grado di costruire esemplari di qualità. Inoltre anche i Principi e i Nobili, incuriositi, volevano fare le loro osservazioni: e, naturalmente, fra Principi e Astronomi... erano i primi ad avere la precedenza!   ▲  

il Microscopio

Negli anni successivi un altro strumento iniziava a svelare un mondo totalmente nuovo: il Microscopio, che consentiva di esplorare le cose piccole, invisibili a occhio nudo.
Chi aveva mai sospettato l'esistenza dei batteri? Forme di vita, indubbiamente (si muovono, mangiano, si moltiplicano)... possibile che nella Creazione fossero stati considerati anche questi esseri minuscoli, di cui dall'inizio del mondo non era mai stata neanche sospettata l'esistenza?

Insomma il Creato stava dimostrando di essere molto più vasto e complesso (sia nel grande che nel piccolo) di quanto si fosse immaginato fino al secolo precedente!   ▲  

L'aberrazione sferica

Telescopi e microscopi... due strumenti che hanno molte cose in comune, e che a quei tempi risentivano degli stessi difetti: per quanto si trovassero sempre nuovi metodi per ottenere lenti migliori, la messa a fuoco perfetta rimaneva una chimera. Fu proprio la necessità di ottenere strumenti migliori a spingere molti scienziati ad occuparsi di ottica.

Una delle cause di errore negli strumenti ottici era la cosiddetta "aberrazione sferica": le classiche lenti biconvesse, delimitate da due superfici sferiche, non consentivano una perfetta messa a fuoco.



I raggi paralleli, provenienti da sinistra, vengono rifratti dalla lente biconvessa, ma non convergono tutti nello stesso punto come invece dovrebbero. Le cose migliorano un po' utilizzando lenti piano-convesse:



I raggi rifratti convergono un po' meglio, ma senza raggiungere la perfezione. Si scoprì presto che questo fenomeno diventava tanto minore quanto più aumentava la distanza focale delle lenti (la distanza dalla lente al punto di convergenza dei raggi rifratti); ma grandi lunghezze focali significano strumenti grandi in proporzione. E infatti si arrivò anche strumenti come questo costruito da Johannes Hevelius (1611-1687): ben 45 metri di lunghezza!   ▲  



Lenti asferiche

La soluzione definitiva al problema dell'aberrazione sferica si ebbe, una volta note le leggi di rifrazione, con la costruzione delle lenti "asferiche": lenti le cui superfici non sono più a forma di calotta sferica, ma hanno un profilo a forma di parabola o di iperbole.

I primi tentativi di costruzione di questo nuovo tipo di lenti (a parte il matematico arabo Ibn Sahl che ci lavorò prima dell'anno 1000 ma di cui non si sapeva niente nell'Europa del XVII secolo) sono ascrivibili a Cartesio e a Constantijn Huygens (il padre del Christiaan di cui abbiamo già parlato nella puntata precedente, e di cui parleremo ancora) intorno agli anni 1620-1630. Per ottenere lenti asferiche di qualità si dovette però aspettare l'opera di Francis Smethwick, che ne produsse a partire dal 1666.

Per quanto i telescopi fabbricati con queste nuove lenti fossero sensibilmente migliori di quelli costruiti con lenti tradizionali, un alone variamente colorato si veniva sempre a creare all'intorno dei punti luminosi (ovvero intorno a ciascuna stella), riducendo il potere di risoluzione dello strumento. Anche il microscopio risentiva di problemi analoghi, e a lungo andare il problema cominciava ad essere considerato irrisolvibile.

Ma per fortuna... Prossimo capitolo: Dispersione e telescopio di Newton