Ottica: l'arcobaleno

Sommario:

+ Introduzione
+ Riflessione
+ Rifrazione
+ Diffrazione
+ Cannocchiale e Aberrazione sferica
+ Dispersione e Telesopio di Newton
+ Etere Luminifero
+ Birifrangenza e Polarizzazione
+ Interferenza
– Arcobaleno
      Riflessione e Rifrazione
      Leggi di Fresnel
      Una goccia d'acqua
      Molte gocce d'acqua
      Due arcobaleni

Riflessione e Rifrazione

Nel corso dei capitoli precedenti abbiamo visto come, già nel XVII secolo, fossero stati compresi i fenomeni di Riflessione e Rifrazione. Tale comprensione però si limitava alle "leggi degli angoli", ovvero la relazione fra gli angoli di incidenza e di riflessione / rifrazione della luce quando un raggio attraversa la superficie di separazione fra due materiali diversi (es. aria / acqua o aria / vetro).

I due fenomeni coesistono quasi sempre: il caso classico è una lastra di vetro attraverso la quale la luce passa (rifrazione), ma dalla quale viene anche riflessa. Non solo: questi fenomeni avvengono molteplici volte in corrispondenza di entrambe le superfici della lastra di vetro:



Un raggio di luce, proveniente dall'angolo in alto a sinistra, raggiunge la lastra di vetro nel punto 1. Una certa quantità di luce viene riflessa (raggio rosso), il rimanente entra nel vetro secondo il dovuto angolo di rifrazione (raggio blu). Quando questo raggio di luce raggiunge la faccia opposta della lastra di vetro, nel punto 2, avviene il fenomeno complementare: una quota di luce viene rifratta all'esterno (raggio rosso), mentre il rimanente viene riflesso nuovamente all'interno della lastra di vetro. Quest'ultimo meccanismo viene poi ripetuto nei punti 3, 4, 5... in teoria, all'infinito.   ▲  

Leggi di Fresnel

Se si volesse fare il calcolo esatto di quanta luce totale attraversa il vetro, e quanta ne viene riflessa, non sarebbe sufficiente conoscere le leggi degli angoli come la legge di Snell, ma occorrerebbero anche leggi quantitative: sono proprio le Leggi di Fresnel.

Le quali leggi di Fresnel tengono conto dell'angolo di incidenza della luce, dei coefficienti di rifrazione dei materiali interessati, e anche della Polarizzazione della luce: infatti si usa il plurale, "le" leggi di Fresnel, che sono due da utilizzare a seconda dei piani di polarizzazione della luce incidente. E siccome le complicazioni non non finiscono mai, bisogna tenere conto anche della variazione dei coefficienti di rifrazione a seconda del colore della luce: si tratta del fenomeno di Dispersione, scoperto da Newton.

Ora che è stato fatto l'elenco dei fenomeni che intervengono nella produzione dell'arcobaleno, possiamo cominciare a spiegarne il funzionamento. Anche se i programmi che ho scritto per creare le immagini che seguono tengono conto nel modo più accurato possibile di tutti gli aspetti della faccenda, la spiegazione sarà molto elementare; chi fosse interessato ai dettagli matematici delle leggi coinvolte... potrà trovare moltissimo materiale sul web, che d'altra parte ho spesso consultato anch'io!   ▲  

Una goccia d'acqua

Per ottenere un arcobaleno sono necessarie la luce solare e qualche goccia d'acqua. Vediamo allora cosa succede di un singolo raggio di luce che incide su una singola goccia d'acqua (la cosa non è molto diversa a quanto già descritto riguardo la lastra di vetro). Nota: per adesso vedremo i fenomeni "di profilo", cioè avendo il sole alla nostra sinistra invece che alle nostre spalle: solo in questo modo si possono vedere le traiettorie percorse dai raggi luce in arrivo dal sole, e le loro successive riflessioni / rifrazioni.



1 — La luce proveniente da sinistra (raggio verde, nella figura in alto a sinistra) colpisce la goccia nel punto 1. Una certa quantità di luce viene riflessa secondo l'angolo β (linea rossa), mentre la luce rimanente viene rifratta all'interno della goccia secondo l'angolo γ (linea blu).

2 — La luce rifratta nel punto 1 prosegue la sua corsa e incontra nuovamente la superficie della goccia nel punto 2 (in alto a destra): qui avviene il fenomeno complementare a quello descritto nel punto 1, infatti una quota parte viene rifratta all'esterno della goccia (linea rossa) mentre il rimanente viene ancora riflesso e permane all'interno della goccia (linea blu).

3, 4 — In basso a sinistra e destra vediamo il ripetersi del fenomeno descritto al punto 2. In realtà il meccanismo si ripete ancora molte volte: fino a quando cioè all'interno della goccia il raggio di luce continua ad essere riflesso, con intensità sempre minore... in teoria un numero infinito di volte!

Per adesso, nello studio dell'arcobaleno ci limiteremo ad analizzare questi quattro raggi di luce uscenti dalla goccia: come già detto ce ne sono anche altri, ma contribuiscono in modo marginale al fenomeno che stiamo studiando (ne parleremo alla fine).

Nell'animazione che segue, per ogni raggio di luce che arriva sulla goccia (linee in bianco, da sinistra) escono quattro raggi rossi, frutto dei vari fenomeni di riflessione / rifrazione già descritti:



La cosa appare molto caotica: questo dipende dal fatto che per adesso non si è tenuto conto dell'intensità dei vari raggi, ma solo dei loro angoli. Vediamo adesso succede tenendo conto anche di questo aspetto:



Nell'immagine sopra si vede l'intensità della luce prodotta separatamente da ciascuno dei quattro tipi di raggio di luce che esce dalla goccia d'acqua: in alto a sinistra la prima riflessione, in alto a destra e poi in basso i tre fenomeni di riflessione / rifrazione a cui sono soggetti i raggi di luce via via che "rimbalzano" sulla superficie interna della goccia.

Le intensità di questi quattro fasci di luce sono molto diverse l'una dall'altra. Il fascio più luminoso è il secondo, infatti la percentuale di luce che entra nella goccia per uscirne immediatamente è di gran lunga superiore alla quantità di luce che segue gli altri percorsi (così come, in una finestra, la luce che la attraversa è in quantità nettamente superiore alla luce che ne viene riflessa).

Come fare allora per vedere il sovrapporsi di tutti i fenomeni, senza rimanere "abbagliati" da quello più intenso? Basta ignorare proprio quest'ultimo! Infatti vediamo cosa succede di questo fascio di luce se ci si allontana dalla goccia:



Per quanto focalizzandosi in un punto vicino alla goccia si abbia un picco di luminosità molto elevato, allontanandosene la luce si disperde molto velocemente; e, vista da grande distanza che ci sarà fra l'osservatore e le gocce che danno luogo all'arcobaleno, l'effetto causato da questo fascio di luce diventa assolutamente trascurabile.

Nell'immagine che segue si vede la composizione dei fasci di luce nelle loro reali intensità reciproche, avendo omesso solo il fascio di cui sopra:



Verso destra si intravedono, debolissimi, i doppi fasci di luce derivanti dalla riflessione della luce quando incontra la goccia per la prima volta: anche questo fenomeno potrà essere trascurato. Ciò che è interessante piuttosto sono le linee nitide, frutto della terza e della quarta rifrazione: saranno proprio queste linee a dar luogo ai due arcobaleni, quello primario e quello secondario.

Fino ad ora abbiamo visto cosa succede usando solo luce rossa: vediamo adesso cosa succede sovrapponendo l'effetto generato da fasci di luce di tutti i colori:



Alle estremità delle linee più luminose, a sinistra, si intravedono delle frange colorate: queste sono dovute al diverso coefficiente di rifrazione associato a ciascun colore della luce, per cui le relative linee di maggiore intensità vengono emesse con angoli leggermente diversi l'uno dall'altro.

Allontaniamoci un po' dalla goccia:



I due fasci di luce si incrociano, e le frange sono sempre più colorate. Allontaniamoci ancora:



Ora che abbiamo portato la goccia fuori dallo schermo, non si vedono più i picchi ad alta luminosità intorno alla goccia stessa, che costringevano a tenere bassa la luminosità dell'immagine; adesso con una luminosità ottimale, si vedono bene i due fasci di luce, colorati come se fossero passati attraverso un prisma, anche se l'arcobaleno risulta da una combinazione molto più complicata di fattori.   ▲  

Molte gocce d'acqua

Insomma, abbiamo visto "cosa esce" da una goccia d'acqua illuminata dal sole. Ma cosa vede esattamente un osservatore che la guardi da lontano?



Dipende. Nel senso che dipende dalla posizione reciproca fra goccia e occhio. Se l'osservatore si trova nella posizione 1, il suo occhio viene illuminato dalla sola luce rossa dell'arco primario; se in posizione 2 o 3, il verde o il viola dello stesso arco.

Se l'osservatore si trova nella posizione 4 o 5, vede il rosso dell'arco secondario, quello dovuto alla quarta riflessione / rifrazione del raggio di luce all'interno della goccia. L'arcobaleno secondario ha le seguenti caratteristiche:

— Ha i colori disposti in ordine inverso (questo è dovuto al fatto che i raggi di luce subiscono una riflessione in più rispetto all'arcobaleno primario);
— È più ampio (la riflessione aggiuntiva causa un'amplificazione delle differenze negli angoli);
— Ha intensità minore (a ogni riflessione /  rifrazione segue una diminuzione dell'intensità del raggio luminoso).

Nell'immagine sopra ho indicato anche la posizione 6: questa indica una fascia scura, chiamata "Banda di Alessandro". Infatti mentre all'esterno della zona compresa fra i due fasci di luce si ha un bagliore diffuso, la zona interna non viene raggiunta da nessun raggio di luce uscente dalla goccia (a parte quello che deriva dalla prima riflessione della luce solare, ma che, debole in partenza,con la distanza si disperde molto velocemente fino a diventare assolutamente trascurabile). L'Alessandro che dà il nome alla banda scura è Alessandro d'Afrodisia, filosofo greco del III secolo d.C., che è stato il primo a descrivere questo fenomeno.

Nell'immagine sopra abbiamo capito cosa vedrebbe un osservatore spostandosi all'interno dei fasci di luce emessi da una singola goccia. Naturalmente ciò che accade realmente è il fenomeno inverso: l'osservatore sta fermo, e viene investito dai fasci di luce che lo raggiungono da una miriade di gocce diverse.



Nell'immagine sopra a sinistra il punto di vista, indicato dall'occhio, viene investito dalla luce rossa dell'arco primario, quindi l'osservatore ha l'impressione che quella goccia "sia" proprio di colore rosso. Nell'immagine di destra invece l'occhio viene investito dalla luce verde dell'arco secondario: ecco che quest'altra goccia appare di colore verde.

L'arcobaleno è creato da una miriade di gocce disposte in posizioni diverse l'una dall'altra. Ecco cosa vede l'osservatore (nell'immagine che segue l'arcobaleno è visto "di profilo"):



Si vede bene come tutte le gocce "colorate" di rosso nell'arco primario sono perfettamente allineate rispetto all'osservatore, così come sono allineate le gocce di tutti gli altri colori: questo accade perché i raggi solari sono tutti paralleli fra loro, e gli aspetti geometrici delle riflessioni / rifrazioni sono identici per ciascuna goccia. Allora, la condizione affinché le gocce si mostrino tutte di un determinato colore (in questo caso il rosso), l'unica condizione necessaria è che l'angolo α compreso fra la direzione di arrivo della luce solare (le linee bianche, da sinistra) e la linea che congiunge la goccia all'osservatore, deve essere costante: per quanto riguarda la luce rossa dell'arco primario, l'angolo è di circa 42 gradi e mezzo.   ▲  

Due arcobaleni

Come dicevo, le immagini sopra mostrano il funzionamento dell'arcobaleno con una vista di profilo, infatti non c'è ancora niente che assomigli a un arco! Lo schema che segue invece mostra il fenomeno in prospettiva:



Per ogni goccia bisogna prendere in considerazione il piano che giace sulla linea percorsa dalla luce solare che la illumina, e che passa dall'occhio dell'osservatore (l'area indicata in grigio indica il piano relativo alla goccia 1). Se l'angolo α compreso fra la linea di luce incidente (indicata in bianco) e la linea che congiunge la goccia con l'osservatore è proprio di 42,5° allora l'osservatore vedrà quella goccia illuminata di rosso; altrimenti l'osservatore vedrà il colore associato a un angolo diverso... oppure nessun colore.

Vediamo la cosa da un altro punto di vista: l'area di cielo che si colorerà di rosso sarà il "luogo" delle gocce che stanno al vertice di un angolo di 42,5°, misurato fra la linea di luce che illumina la goccia e la congiungente fra goccia e osservatore. Questo luogo non può che essere circolare: è come se usassimo un compasso con apertura costante (ecco quindi spiegata la forma di arco circolare dell'arcobaleno).

Il discorso ovviamente vale per qualsiasi altro colore / angolo: angoli più piccoli danno luogo ad archi concentrici di raggio minore. Gli angoli più grandi, relativi all'arcobaleno secondario, danno luogo agli archi di raggio maggiore relativi proprio a questo secondo arcobaleno; gli angoli intermedi provocano la fascia più scura compresa fra i due: la Banda di Alessandro.

Per finire, vediamo finalmente un arcobaleno visto frontalmente. Nell'immagine che segue (la stessa che c'è in apertura) ho sovrapposto una foto presa dal web di un arcobaleno doppio all'immagine ottenuta al computer. Il programma calcola la somma dei contributi di luce che raggiungono l'osservatore per ogni colore (al quale corrisponde un diverso indice di rifrazione, e una diversa composizione RGB, rosso-verde-blu) per ogni goccia, tenendo conto anche della polarizzazione della luce a ogni evento. Direi che la somiglianza è davvero notevole...   ▲  



Ulteriore arcobaleno

Per finire, manca un accenno alla questione lasciata in sospeso: cosa succede delle ulteriori riflessioni / rifrazioni all'interno di ciascuna goccia?



Ecco qui i raggi generati dalle due successive rifrazioni: hanno le stesse caratteristiche di quelli già descritti e sono anch'essi in grado di generare un arcobaleno. Hanno però intensità molto più debole dei primi due, e di fatto solo in condizioni atmosferiche eccezionali si riesce ad apprezzare il più intenso dei due. Il quale, a differenza dei primi due, non va però cercato dando le spalle al sole: questo effimero arcobaleno viene a trovarsi in controluce, ecco anche spiegato perché è così difficile da osservare.   ▲  

Ottica: Dispersione e telescopio di Newton

Sommario:

+ Introduzione
+ Riflessione
+ Rifrazione
+ Diffrazione
+ Aberrazione sferica e Cannocchiale
– Dispersione e Telescopio di Newton
      Isaac Newton
      Il prisma
      Aberrazione cromatica
      Il telescopio di Newton
      Controversie scientifiche
      Specchi liquidi
+ Etere Luminifero
+ Birifrangenza e Polarizzazione
+ Interferenza
+ L'arcobaleno

Isaac Newton

Come dicevo alla fine del capitolo precedente, "per fortuna"... nel 1665 a Londra scoppiò la peste, propagandosi in breve tempo fino a Cambridge: l'università locale (il celebre Trinity College) venne evacuata, e Isaac Newton dovette tornare nella sua città natale, in solitudine quasi completa.



Nato già orfano di padre il 4 gennaio del 1643 (secondo il nostro "nuovo" calendario gregoriano, oppure il 25 dicembre del 1642 secondo il vecchio calendario giuliano allora in vigore in Inghilterra: in effetti molti biografi preferiscono la seconda di queste due date, per sottolineare la coincidenza per cui Newton sarebbe nato nello stesso anno in cui moriva Galileo!), la madre si risposò dopo tre anni con un uomo che Isaac odiava cordialmente. La sua infanzia fu molto infelice, cosa che lo segnò per tutta la vita: di carattere ombroso e scorbutico, pare che egli abbia riso una sola volta in vita sua, quando un suo studente gli chiese se valesse la pena studiare gli "Elementi" di Euclide!

Newton frequenta il Trinity College dal 1661 con il titolo di subsizar (servitore): era la qualifica degli studenti poveri, che si guadagnavano la retta servendo a tavola e facendo le pulizie. Nel 1669 diverrà "Professore Lucasiano" (cioè titolare della cattedra di matematica fondata pochi anni prima da tale Henry Lucas) nello stesso college.

Ma torniamo all'anno 1665 e all'esilio di Newton. In quell'anno esprime il suo genio al massimo grado, avviando lo sviluppo dell'analisi matematica, studiando la meccanica e le tre famose leggi della dinamica, e intuendo la legge di gravitazione universale. In questo stesso anno acquista un oggetto che al momento non ha alcun uso pratico, ma che serve per sorprendere la gente nelle fiere: un prisma di vetro.   ▲  

Il prisma

Newton aveva già letto tutti gli studi precedenti sull'ottica, scritti da personaggi come Cartesio, Fermat, Galileo, Copernico, Keplero... quindi sapeva cosa doveva aspettarsi. Praticò un buco nella persiana, e fece passare uno stretto fascio di luce solare attraverso il prisma. Ciò che ottenne assomiglia a quest'immagine (si tratta di una simulazione molto accurata fatta al computer, che fa vedere il raggio di luce nel suo percorso anche se in realtà esso risulterebbe visibile solo in presenza di vapore, o fumo o polvere).



Il raggio bianco che arriva da sinistra viene rifratto due volte, e rimane bianco se non per due leggere striature, blu nella parte alta e rossa nella parte bassa del fascio luminoso, sulla destra. La proiezione del fascio su di uno schermo bianco posizionato vicino al prisma dà come risultato una cosa del genere:



Anche qui si vedono le due striature, blu e rossa. Il fenomeno del cambiamento di colore nella luce era cosa nota dall'antichità: infatti la luce che si riflette su un corpo colorato si colora anch'essa. L'idea era che la luce "pura" fosse solo quella bianca (come la vediamo provenire dal Sole e dalle Stelle); e che la materia con la quale interagiva in qualche modo la "sporcasse": insomma fino agli studi di Newton c'era la convinzione che i fenomeni di alterazione dei colori da parte di lenti e prismi fossero dovuti alla materia "impura" di cui erano fatti.

Newton però compie nuovi esperimenti nei quali allontana sempre più lo schermo dal prisma:



Ecco che il fascio di luce bianca via via sparisce, per far posto a bande dai colori ben definiti. Ma questo è un fenomeno molto più graduale di quanto si pensi normalmente: tutto il contrario di quanto rappresentato nella copertina di questo celeberrimo disco (The dark side of the Moon, dei Pink Floyd):



Newton ripete i propri esperimenti in mille modi diversi, ottenendo risultati sempre analoghi: la macchia di luce bianca si allunga senza mai allargarsi, e la sequenza dei colori è sempre la stessa, con il colore viola-blu sempre dal lato della rifrazione più angolata. Comincia a pensare che non ci sia in gioco solo un "inquinamento" più o meno casuale della luce, dovuto solo al materiale che attraversa; piuttosto arriva alla conclusione che

La luce bianca è composta dai colori. Il prisma non modifica la luce bianca, ma la divide nelle sue componenti.

Per verificare questa teoria esegue due esperimenti cruciali. Ecco il primo:



Newton maschera il fascio di raggi rifratti dal prisma con uno schermo nel quale ha praticato un piccolo foro, in modo da "selezionare" un raggio monocromatico, cioè costituito di luce di un solo colore. Ebbene, per quanti esperimenti faccia su questo raggio di luce, non riuscirà più a fargli cambiare colore. Ovvero confuta la tesi secondo cui è il vetro a colorare la luce: se i raggi di luce di ogni singolo colore possono attraversare il secondo prisma senza che il colore ne risulti alterato, vuol dire che la luce "pura" è quella dei singoli colori mentre la luce bianca è un miscuglio degli stessi colori.

Il secondo esperimento dovrebbe secondo Newton tagliare la testa al toro: usando una lente e un secondo prisma riesce a ricombinare la luce uscente dal primo prisma un un nuovo raggio di luce bianca.



Quest'immagine ha proporzioni falsate: abbiamo già visto che i raggi colorati divergono di pochissimo all'uscita del prisma. Per compiere quest'esperimento Newton ha bisogno di un laboratorio di molti metri... insomma, molto più grande di questo schermo!

La luce esce dal primo prisma sotto forma di raggi colorati che divergono; la lente li fa riconvergere a ridosso del secondo prisma: se quest'ultimo non fosse presente, i raggi proseguirebbero in linea retta riaprendosi a ventaglio con l'ordine dei colori invertito (il rosso in alto).



Il prisma invece riunisce tutti i raggi colorati in unico fascio di luce bianca. Per Newton il risultato dell'esperimento è chiarissimo: le vecchie teorie che indicavano i colori della luce come un inquinamento della luce bianca sono false; infatti come si sarebbe potuta ottenere una "pura" luce bianca, dopo un processo che la dovrebbe avere così tanto sporcata?   ▲  

L'aberrazione cromatica

Questi esperimenti di Newton portano alla definizione di un nuovo tipo di aberrazione: dopo l'aberrazione sferica di cui abbiamo parlato nella puntata precedente, adesso siamo in presenza dell'aberrazione cromatica, cioè della non omogenea rifrazione di tutti i colori della luce bianca.

Newton si convince che, se anche si potessero realizzare lenti perfette in grado di annullare completamente l'aberrazione sferica, non sarà mai possibile annullare l'aberrazione cromatica: ecco la spiegazione di quegli immancabili aloni colorati che continuano a disturbare lo studio del cielo anche usando i migliori telescopi! In realtà il problema dell'aberrazione cromatica sarà risolto verso la metà del XVIII secolo grazie all'uso di coppie di lenti costruite con vetri caratterizzati da indici di rifrazione diversi.   ▲  

Il telescopio di Newton

Nel 1663 James Gregory aveva ipotizzato la costruzione di un telescopio a riflessione, dotato di soli specchi. Newton, che aveva verificato come la riflessione, al contrario della rifrazione, non desse mai problemi di aberrazione cromatica, rispolvera questa idea, la perfezione e realizza un primo telescopio a riflessione: ha uno specchio principale di forma parabolica, uno specchio piano e un oculare.


La luce proveniente da sinistra (raggi blu) viene riflessa dallo specchio principale. I raggi riflessi (in rosso) convergerebbero verso il punto F... ma l'interposizione dello specchio secondario 2 rinvia i raggi (in verde) all'esterno del telescopio, nel punto O. Con l'opportuna scelta della forma dello specchio principale (parabolica, ne parlo qui di seguito), si ottiene per incanto uno strumento che non risente né dell'aberrazione sferica né di quella cromatica!

Fra le altre cose, Newton è anche un valentissimo artigiano: costruisce vari telescopi di questo nuovo tipo molando gli specchi da sé, e ne presenta uno alla Royal Society di Londra nel 1668. Lo strumento è stupefacente: pur essendo un oggetto molto semplice e di dimensioni contenute, fornisce immagini migliori di qualsiasi telescopio fosse stato costruito in precedenza!   ▲  

Controversie scientifiche

Nel gennaio del 1672 Newton viene eletto membro della Royal Society (ne diverrà presidente nel 1703). Il successo raggiunto lo spinge ad osare: una settimana dopo la sua elezione, invia al segretario di questa stessa Accademia Inglese delle Scienze, Henry Oldenburg, una lettera in cui annuncia di avere compiuto una

scoperta filosofica, che a mio giudizio è la più strana se non la più considerevole, che sia stata compiuta finora nelle operazioni della natura.

Possiamo immaginare il fastidio di Oldenburg nel ricevere una lettera siffatta da questo arrogante giovane (trentenne), così terribilmente ambizioso!

Poche settimane dopo Newton invia per la pubblicazione sulle Transactions of the Royal Society un articolo in cui espone la sua rivoluzionaria teoria dei colori. Sostiene che con un solo esperimento pratico si può fornire la prova decisiva a favore della sua nuova teoria dei colori, a scapito delle ormai consolidate teorie modificazioniste: proprio l'esperimento dei due prismi, con cui si scompone e ricompone la luce bianca. Infine spiega i suoi risultati con una teoria di tipo corpuscolare: la luce bianca sarebbe una miscela di corpuscoli differenti che si propagano nello spazio come proiettili che si muovono a velocità diverse...

Con grande disappunto di Newton, l'articolo non viene accettato. Sottoposto ad altri scienziati dell'epoca, riceve tre ordini di critiche: alcuni non riescono a replicare l'esperimento; altri non negano il risultato dell'esperimento, ma l'interpretazione data da Newton; altri ancora (in particolare Huygens) sostengono che la scoperta di Newton sia di poca importanza: sarebbe solo la scoperta di una diversa frangibilità della luce in base ai colori, non certamente la prova definitiva a sostegno di una qualsiasi teoria sulla natura della luce.

La difficile replicabilità dell'esperimento di Newton è giustificata dal fatto che nell'articolo inviato alla Royal Society la sua descrizione è molto sommaria, e non pone sufficientemente l'accento sulla precisione con la quale devono essere realizzati i prismi. Inoltre c'era diffidenza verso un personaggio semisconosciuto che sosteneva che una sola esperienza potesse confutare i moltissimi "studi" fatti in precedenza: insomma in Europa vengono fatti vari tentativi di replicare l'esperimento, ma senza raggiungere un consenso diffuso né sui risultati né tanto meno sulle loro interpretazioni. Nel marzo del 1675 viene programmata l'esecuzione dell'esperimento proprio presso la Royal Society ma, per l'appunto, quel giorno il sole non c'è: piove a dirotto! Finalmente l'esperimento verrà fatto con pieno successo il 27 aprile del 1676; il mondo scientifico si convincerà della validità dei risultati...

... ma non delle interpretazioni sulla natura della luce, ovvero dei meccanismi che giustificherebbero questo suo comportamento. Nella puntata precedente abbiamo visto che si stava diffondendo la teoria ondulatoria: proprio Huygens chiederà chiarimenti a Newton su qual è secondo lui il peso del suoi risultati nell'appoggiare la teoria corpuscolare rispetto a quella ondulatoria.

La controversia fra i sostenitori delle teorie corpuscolare e ondulatoria continuerà a lungo, anche perché vengono osservati sempre nuovi fenomeni. In particolare Robert Hooke (1635-1703), stava continuando a sviluppare la teoria ondulatoria della luce occupandosi di nuovi fenomeni come l'interferenza. Nello scambio di lettere fra Hooke e Newton, a un certo punto quest'ultimo scrive:

Se ho visto più lontano, è perché stavo sulle spalle di giganti.

Sebbene questa frase appaia come segno di modestia (nei confronti di Cartesio, Galileo, ecc.), alcuni ritengono che si trattasse si una punzecchiatura: Hooke infatti era un uomo particolarmente basso di statura!

A lungo andare Newton, offeso dalla perdurante mancanza di riconoscimento delle proprie teorie (la modestia non faceva proprio parte del suo carattere), si ritira dalla disputa giurando in cuor suo di non pubblicare mai più alcun risultato scientifico. Già nel 1675 scrive ad Oldenburg:

Desidero evitare di essere coinvolto in tali fastidiose dispute prive di significato...

Per fortuna poi le cose non andranno davvero così: nel 1687 pubblicherà il celeberrimo e fondamentale "Philosophiae Naturalis Principia Mathematica".   ▲  

Specchi... liquidi

La parabola è una curva nota dall'antichità, grazie ai primi studi di Apollonio da Perga che scrisse un trattato sulle "Coniche", la famiglia di curve di cui la parabola fa parte.

Durante le sue lunghissime ricerche sul moto dei pianeti, Keplero studiò queste curve, arrivando a un risultato di notevole interesse per l'astronomia: raggi di luce che arrivino su una superficie parabolica, in direzione parallela all'asse della parabola stessa, vengono riflessi in modo da convergere esattamente in un punto, detto fuoco (il nome "fuoco" di questo punto è stato assegnato proprio da Keplero):



Questa superficie quindi si presta perfettamente alla costruzione dei telescopi, infatti non presenta né aberrazione sferica (dovuta alla forma delle lenti) né cromatica (lo specchio non disperde la luce bianca).

Ecco che il paraboloide, ovvero la superficie che si ottiene facendo ruotare una parabola lungo il suo asse di simmetria, è proprio la forma ideale per costruire lo specchi primario di tutti i telescopi a riflessione: infatti non presenta né aberrazione sferica (dovuta alla forma delle lenti) né cromatica (lo specchio non disperde la luce bianca). Questa forma è la stessa delle antenne satellitari: infatti anche in questo caso le onde elettromagnetiche, che provengono da oltre 30000 km di distanza, sono sostanzialmente parallele fra loro. La parabola le riflette concentrandole nel punto in cui è montato il cosiddetto "illuminatore", ovvero l'elemento sensibile dell'antenna.

Con questo tipo di specchio sono stati costruiti i più grandi telescopi al mondo: il record spetta al Gran Telescopio Canarias (GTC), con uno specchio primario di 10,4 metri. Il famoso Telescopio Spaziale Hubble ha uno specchio primario di "soli" 2,4 metri... ma ha il non trascurabile pregio di essere in orbita, quindi di non risentire dei disturbi causati dall'atmosfera terrestre.

Adesso una domanda: Ma come diavolo si fa a molare uno specchio di 10 metri in modo da ottenere la forma di un paraboloide? Qui ci viene ancora in aiuto (guarda caso!) proprio Newton. Il quale scoprì che prendendo un secchio pieno d'acqua, e facendolo girare intorno al suo asse verticale, la superficie dell'acqua si dispone proprio a forma di paraboloide. Ecco un esempio pratico, che ho realizzato attaccando un contenitore di plastica al mandrino di un trapano mediante tre fili (l'acqua è leggermente colorata con inchiostro di china per rendere l'effetto più visibile); potete vedere un breve filmato di quest'esperienza se cliccate sulla foto qui sotto:



In estrema sintesi, il procedimento per fabbricare uno di questi enormi specchi è il seguente:

— All'interno di una camera a vuoto di opportune dimensioni si installa uno "stampo" (come quello delle torte), che girerà su se stesso a velocità costante, nell'ordine di pochi giri al minuto;

— facendo il vuoto (in modo da evitare il formarsi di bolle d'aria) viene versata un'opportuna quantità di vetro ottico fuso;

— inizia una fase molto graduale di raffreddamento: ci può volere più di un anno per portare il vetro a temperatura ambiente (solo così si possono evitare tensioni dovute alla non omogenea contrazione del vetro durante il raffreddamento);

— a questo punto la superficie del vetro è quasi perfetta: basta una lucidatura (di estrema precisione);

— applicando nuovamente il vuoto, si procede alla metallizzazione della superficie dello specchio, e il gioco è fatto!

Il "trucco" di far ruotare lo stampo per ottenere una superficie parabolica si presta anche ad un altro uso: la realizzazione di "specchi liquidi". Ne esistono vari al mondo, fino a 6 metri di diametro e oltre: è sufficiente mantenere in rotazione una forma e versarci del mercurio.



Naturalmente questo tipo di specchio può essere disposto solo con l'asse di rotazione verticale; inoltre i problemi di sospensione e di attivazione della rotazione sono tutt'altro che semplici da risolvere: non ci devono essere vibrazioni né le minime variazioni di velocità, pena veder comparire delle onde o increspature sulla superficie. Cionondimeno, i costi di realizzazione di uno specchio liquido sono circa un decimo rispetto al costo di uno specchio solido, a parità di diametro.   ▲  

Prossimo capitolo: Etere Luminifero

Ottica: Cannocchiale e Aberrazione sferica

Sommario:

+ Introduzione
+ Riflessione
+ Rifrazione
+ Diffrazione
– Aberrazione sferica e Cannocchiale
      Cannocchiale
      Microscopio
      Aberrazione sferica
      Lenti asferiche
+ Dispersione e telescopio di Newton
+ Etere Luminifero
+ Birifrangenza e Polarizzazione
+ Interferenza
+ L'arcobaleno

Il cannocchiale

All'inizio del secolo XVII in Olanda vennero costruiti i primi telescopi. In realtà avevano più uso di cannocchiale terrestre che di strumento astronomico: il loro pessimo potere risolutivo, e il fatto di essere stati costruiti da "vili meccanici" (per parafrasare il Manzoni), ovvero artigiani occhialai, fecero sì che il mondo accademico tendesse a rifiutare questi oggetti che, oltre ad essere appunto di estrazione "plebea", distorcevano le immagini e non davano nessuna garanzia di rigore scientifico.

Galileo Galilei è considerato per molti versi il padre della scienza moderna, e questo è tanto più vero per quanto riguarda l'astronomia: studiò i problemi ottici dei telescopi, non disdegnò di realizzare le lenti necessarie per proprio conto (le attività manuali non erano considerate un'occupazione degna dagli studiosi della sua epoca) e nel 1609, costruito finalmente un telescopio di qualità sufficiente, lo puntò verso il cielo.



Certamente anche questo primo telescopio di Galileo era imperfetto; tuttavia gli consentì di portare a termine una campagna di osservazioni sistematiche che confluirono nella pubblicazione, nel 1610, del libro "Sidereus Nuncius", in cui appunto "annuncia" le sue scoperte. Scoperte non da poco:

— La Luna non è perfettamente sferica: ha delle "montagne" che in condizioni di luce radente (es. all'alba lunare) danno luogo a una linea di confine luce-ombra molto frastagliata. Con questo confuta le teorie antiche secondo cui tutti i corpi celesti dovevano essere perfettamente sferici.

— Giove possiede quattro satelliti: altra confutazione delle teorie antiche, secondo le quali il moto circolare di tutti i corpi celesti doveva essere centrato sulla Terra.

— La Via Lattea è costituita da miriadi di stelle; e anche il resto dell'universo ne contiene molte più di quante fossero mai state osservate in precedenza.



(Da sinistra: la Luna in un disegno originale di Galileo, pubblicato proprio nel "Sidereus Nuncius"; una fotocomposizione della Nasa di Giove con la sua macchia e, dall'alto, i satelliti Io, Europa, Ganimede e Callisto; infine, sempre dal sito della Nasa, la Via Lattea).

... e questo è solo l'inizio! In scritti successivi Galileo esporrà le sue osservazioni su Mercurio e Venere, le cui fasi possono essere giustificate solo ammettendo la loro rotazione intorno al Sole, e non alla Terra (ulteriore confutazione del Geocentrismo); descriverà la "strana forma" di Saturno (ci vorrà Huygens per identificare questa strana forma con i celebri anelli).

Galileo fu anche il primo ad osservare il pianeta Nettuno, nel dicembre 1612. Per pura coincidenza, in quel momento il moto apparente di Nettuno era quasi nullo, in quanto stava proprio "invertendo" la propria marcia per iniziare una fase di "moto retrogrado". Galileo quindi lo scambiò per una stella fissa... insomma Nettuno dovrà attendere fino al 1846 per essere scoperto definitivamente!

Naturalmente dopo questi annunci tutti gli scienziati dell'epoca cercarono di procurarsi un telescopio, anche se la cosa non era facile, infatti erano pochissimi gli artigiani in grado di costruire esemplari di qualità. Inoltre anche i Principi e i Nobili, incuriositi, volevano fare le loro osservazioni: e, naturalmente, fra Principi e Astronomi... erano i primi ad avere la precedenza!   ▲  

il Microscopio

Negli anni successivi un altro strumento iniziava a svelare un mondo totalmente nuovo: il Microscopio, che consentiva di esplorare le cose piccole, invisibili a occhio nudo.
Chi aveva mai sospettato l'esistenza dei batteri? Forme di vita, indubbiamente (si muovono, mangiano, si moltiplicano)... possibile che nella Creazione fossero stati considerati anche questi esseri minuscoli, di cui dall'inizio del mondo non era mai stata neanche sospettata l'esistenza?

Insomma il Creato stava dimostrando di essere molto più vasto e complesso (sia nel grande che nel piccolo) di quanto si fosse immaginato fino al secolo precedente!   ▲  

L'aberrazione sferica

Telescopi e microscopi... due strumenti che hanno molte cose in comune, e che a quei tempi risentivano degli stessi difetti: per quanto si trovassero sempre nuovi metodi per ottenere lenti migliori, la messa a fuoco perfetta rimaneva una chimera. Fu proprio la necessità di ottenere strumenti migliori a spingere molti scienziati ad occuparsi di ottica.

Una delle cause di errore negli strumenti ottici era la cosiddetta "aberrazione sferica": le classiche lenti biconvesse, delimitate da due superfici sferiche, non consentivano una perfetta messa a fuoco.



I raggi paralleli, provenienti da sinistra, vengono rifratti dalla lente biconvessa, ma non convergono tutti nello stesso punto come invece dovrebbero. Le cose migliorano un po' utilizzando lenti piano-convesse:



I raggi rifratti convergono un po' meglio, ma senza raggiungere la perfezione. Si scoprì presto che questo fenomeno diventava tanto minore quanto più aumentava la distanza focale delle lenti (la distanza dalla lente al punto di convergenza dei raggi rifratti); ma grandi lunghezze focali significano strumenti grandi in proporzione. E infatti si arrivò anche strumenti come questo costruito da Johannes Hevelius (1611-1687): ben 45 metri di lunghezza!   ▲  



Lenti asferiche

La soluzione definitiva al problema dell'aberrazione sferica si ebbe, una volta note le leggi di rifrazione, con la costruzione delle lenti "asferiche": lenti le cui superfici non sono più a forma di calotta sferica, ma hanno un profilo a forma di parabola o di iperbole.

I primi tentativi di costruzione di questo nuovo tipo di lenti (a parte il matematico arabo Ibn Sahl che ci lavorò prima dell'anno 1000 ma di cui non si sapeva niente nell'Europa del XVII secolo) sono ascrivibili a Cartesio e a Constantijn Huygens (il padre del Christiaan di cui abbiamo già parlato nella puntata precedente, e di cui parleremo ancora) intorno agli anni 1620-1630. Per ottenere lenti asferiche di qualità si dovette però aspettare l'opera di Francis Smethwick, che ne produsse a partire dal 1666.

Per quanto i telescopi fabbricati con queste nuove lenti fossero sensibilmente migliori di quelli costruiti con lenti tradizionali, un alone variamente colorato si veniva sempre a creare all'intorno dei punti luminosi (ovvero intorno a ciascuna stella), riducendo il potere di risoluzione dello strumento. Anche il microscopio risentiva di problemi analoghi, e a lungo andare il problema cominciava ad essere considerato irrisolvibile.

Ma per fortuna... Prossimo capitolo: Dispersione e telescopio di Newton

Ottica: Diffrazione

Sommario:

+ Introduzione
+ Riflessione
+ Rifrazione
– Diffrazione
      Huygens
      Le onde
      La teoria ondulatoria
      Una piscina computerizzata!
+ Aberrazione sferica e Cannocchiale
+ Dispersione e telescopio di Newton
+ Etere Luminifero
+ Birifrangenza e Polarizzazione
+ Interferenza
+ L'arcobaleno

Le teorie che abbiamo visto nei capitoli precedenti, relative a riflessione e rifrazione, sostenevano implicitamente che la luce fosse fatta di corpuscoli (teoria Corpuscolare) che normalmente si muovono in linea retta. Con i corpuscoli si potevano spiegare i seguenti fenomeni:

— Riflessione: così come una pallina rimbalza sul pavimento, i corpuscoli di luce rimbalzerebbero con un urto perfettamente elastico (senza perdita di velocità) contro le superfici riflettenti;

— Rifrazione: qui le teorie si fanno più complicate. Snell, ma soprattutto Fermat, spiegano le leggi di rifrazione grazie a un cambio di velocità della luce nei vari mezzi che attraversano; ma nessuno sa spiegare in modo convincente come facciano le particelle, oltre a perdere velocità (es. passaggio dall'aria al vetro in una lente), a riguadagnarne (dal vetro di nuovo in aria).

Rimanevano in sospeso molti problemi: per esempio, che fine fanno i corpuscoli che non vengono riflessi né transitano attraverso un mezzo trasparente? Se non vanno da nessuna parte, si accumulano in qualche posto?

Diffrazione

Il 1665 è un anno di svolta: viene pubblicato (postumo) il trattato "De Lumine" di Francesco Maria Grimaldi (gesuita con interessi per la fisica e l'astronomia, 1618-1663) in cui descrive per la prima volta alcuni fenomeni della luce mai osservati prima.

Grimaldi osserva che la luce solare, fatta passare attraverso una piccola apertura e proiettata su uno schermo bianco a grande distanza, proietta un alone ben più grande di quanto sarebbe prevedibile grazie alla semplice propagazione lineare della luce; in più, il bordo dell'alone è alterato da frange variamente colorate:



Secondo Grimaldi, è come se l'onda si "rompesse" (da cui il nome del fenomeno, coniato proprio da lui, dal latino "diffractus" participio passato di de-frangere) e si ricomponesse, sparpagliandosi, al di là dell'ostacolo.

Gli studi di Grimaldi si spingono ben oltre: certamente troppo oltre, per i suoi tempi. Infatti osserva per la prima volta anche fenomeni di dispersione e interferenza (di cui parleremo prossimamente)... giungendo alla conclusione che la luce potrebbe essere qualcosa di immateriale: l'ipotesi rivoluzionaria di Grimaldi è che la luce potrebbe essere trasmessa per mezzo di onde.   ▲  

Huygens

Le intuizioni del Grimaldi furono prese in considerazione da un altro dei personaggi incredibili che costellano la storia dell'ottica: Christiaan Huygens.



Matematico, astronomo e fisico olandese, 1629-1695), ha dato contributi fondamentali in tutti i campi di cui si è occupato:

— Perfezionò l'orologio a pendolo di Galileo;
— Inventò il bilanciere a molla, ottenendo il primo orologio trasportabile in mare;
— Adottando una molla a spirale brevettò il primo orologio tascabile;
— Scoprì gli anelli di Saturno e la sua luna più grande, Titano;
— Studiò la dinamica dei corpi rigidi (es. momento d'inerzia, forza centrifuga )...

Stimatissimo dagli scienziati suoi contemporanei, Newton lo chiamava "Summus Hugenius"!

Influenzato dallo scritto di Grimaldi, Huygens inizia a studiare se le proprietà della luce possano davvero essere spiegate dalla propagazione di onde.   ▲  

Le onde

Prima però di addentrarci negli studi di Huygens sulle onde luminose, credo sia meglio occuparci di onde un po' più maneggevoli e facilmente comprensibili: le onde che si propagano nell'acqua. Avrei voluto mostrarvi onde di acqua fotografate dal vivo, ma non disponendo:

— di una piscina sufficientemente grande;
— del tempo infinito che ci vuole affinché dopo a ogni prova l'acqua torni in perfetto stato di riposo;
— di un'attrezzatura fotografica adatta, sospesa a vari metri d'altezza sopra il pelo dell'acqua...

... mi sono arrangiato scrivendo un programma che simula il comportamento della superficie dell'acqua (maggiori dettagli, per chi fosse interessato, si trovano in fondo a questa spiegazione).

Vediamo cosa succede lasciando cadere un sasso virtuale in questa piscina, anch'essa virtuale:



Le onde si propagano a velocità costante dal punto in cui viene lanciato il sasso e, come c'era da aspettarsi, le onde che si formano sono perfettamente circolari.

Se ci allontaniamo a sufficienza dal punto in cui è lanciato il sasso, il fronte d'onda diventa rettilineo, con il moto dell'onda perpendicolare al fronte d'onda stesso:



(Le onde piane, o rettilinee, sono le più facili da studiare; e in effetti la luce proveniente dal sole o dalle stelle è generata a distanze talmente grandi che i loro raggi possono tranquillamente considerarsi paralleli).


Ora proviamo a vedere cosa succede quando un pacchetto di onde piane investe il bordo della piscina:



Quando le onde incidenti (freccia rossa) raggiungono il bordo in basso (in grigio), in qualche modo "rimbalzano" riuscendo dopo un po' a rigenerare onde riflesse (freccia verde) perfettamente simmetriche a quelle incidenti; infatti gli angoli α e β sono uguali. La generazione delle onde riflesse avviene perfettamente, nonostante nella zona vicina al bordo si veda quella strana trama triangolare: si tratta di una zona in cui le onde incidenti e riflesse interagiscono fra loro, sommandosi o annullandosi reciprocamente a seconda del punto che si esamina; nonostante questo apparente "caos", le onde riflesse, come già detto, si rigenerano perfettamente.

Nuova domanda. Le onde possono creare, oltre al fenomeno della riflessione, anche quello della rifrazione? Per fare la prova occorrerebbe una piscina contenente due liquidi diversi: una parte di acqua, l'altra di un altro liquido, diciamo olio, nel quale le onde si propaghino a velocità diversa; e il tutto con una linea di separazione netta: non proprio una cosa facile da ottenere nella realtà! Ma con la mia piscina virtuale la cosa è davvero semplice!

Nell'animazione che segue si vedono i liquidi di due colori: l'acqua è a sinistra, mentre a destra, in verde c'è un olio nel quale le onde si propagano a velocità dimezzata rispetto all'acqua. Vediamo cosa succede quando un pacchetto di onde piane si dirige in diagonale verso la linea di separazione dei due liquidi :



Inizialmente l'onda si muove solo nell'acqua (freccia rossa); quando raggiunge la linea di separazione fra i due liquidi, le onde iniziano a propagarsi anche nell'olio (freccia blu), non nella stessa direzione, ma proprio secondo gli angoli α e β che si ricavano dalla legge di Snell che abbiamo visto nella puntata precedente! Però...

... proseguendo con l'animazione, si vede che l'onda incidente genera anche un'onda riflessa (freccia verde). In realtà la rifrazione non è un fenomeno che accade mai da solo: a un fenomeno di rifrazione è sempre associato un fenomeno di riflessione (non è sempre vero il contrario). Questo è il motivo per cui guardando la vetrina di un negozio si vedono sia gli articoli esposti che il riflesso della gente che cammina per strada!

Adesso è il momento di verificare se anche la diffrazione scoperta dal Grimaldi possa essere interpretata come fenomeno ondulatorio:



A sinistra siamo in mare aperto, dove si muovono, verso destra, delle onde piane. Le quali vanno a sbattere contro una diga in cui c'è una piccola apertura: la mia piscina virtuale dimostra che le onde non proseguono in linea retta, ma si "disperdono" in tutte le direzioni, proprio come intuito da Grimaldi.

Nota: del fenomeno di diffrazione abbiamo tutti esperienza diretta: infatti il suono, che si propaga per mezzo di onde, consente a due persone di parlarsi da una stanza a un'altra; ma per far questo il suono deve essere in grado grado di "girare l'angolo".   ▲  

La teoria ondulatoria

Avendo visto tutte queste belle cose, possiamo tornare a Huygens e ai suoi studi sulla natura ondulatoria della luce. Per il suo modello di propagazione della luce, Huygens si ispira alle proprietà di propagazione degli impulsi meccanici che aveva già analizzato in occasione dei suoi studi sul pendolo. L'ipotesi è che tutto lo spazio sia permeato di un qualche mezzo incorporeo, il cosiddetto "etere luminifero":



Quando una "sferetta" di questo etere si muove per un qualsiasi motivo, essa trasmette immediatamente il suo moto alle sferette adiacenti, che a loro volta lo trasmettono alle sferette adiacenti, e così via. Questo elementare meccanismo, descritto nel suo "Traité de la lumière" del 1690, è la base del "principio di Huygens":

Ogni elemento di un fronte d'onda si può considerare come una sorgente secondaria di onde sferiche [...] La perturbazione prodotta in un punto dello spazio si può sempre ottenere come sovrapposizione di tutte le onde sferiche secondarie che raggiungono quel punto.

Vediamo allora come funzionano queste "onde sferiche": iniziamo dal fenomeno della riflessione (le animazioni che seguono riproducono le simulazioni già viste sopra):



L'onda piana indicata in rosso, proveniente da sinistra, incontra progressivamente la parete della piscina in basso. In ognuno di questi punti di incontro (nell'animazione ne vengono mostrati solo alcuni) l'onda incidente sparisce, e viene sostituita da una sorgente di onde sferiche (indicate dai pallini rossi) che si propagano alla stessa velocità alla quale si muove l'onda incidente. L'inviluppo dei fronti delle onde sferiche "ricostruisce" perfettamente l'onda riflessa.

Ecco ora la rifrazione:



L'onda incidente si muove ancora da sinistra verso destra, per essere sostituita da sorgenti di onde sferiche via via che incontra la linea di separazione fra i due liquidi. I quali hanno velocità di propagazione diverse: ecco che le sfere (o meglio, semisfere) si allargano con velocità differenti sulla destra e sulla sinistra, costruendo sia l'onda riflessa (blu, a sinistra) che quella rifratta (verde, a destra).

Anche la diffrazione può essere spiegata grazie al principio di Huygens:



L'onda piana proveniente da sinistra viene assorbita dalla diga e sostituita dalle solite sorgenti di onde sferiche a cavallo dell'apertura: ecco che sulla destra il fronte d'onda si propaga in tutte le direzioni.

Studiando la propagazione delle onde, Huygens riesce a ricavare tutte le leggi già note dell'ottica, come la legge di Snell relativa alla rifrazione e il doppio fenomeno riflessione-rifrazione; in più spiega anche la diffrazione e altri fenomeni come l'interferenza: davvero un risultato notevole! Certo, anche la teoria ondulatoria lascia aperti alcuni problemi, come la definizione del mezzo in cui le onde si propagano, quell'etere luminifero che verrà cercato per un altro paio di secoli.

Purtroppo le sue teorie non saranno prese molto in considerazione dai suoi contemporanei per via dell'influenza di due mostri sacri come Cartesio e Newton, entrambi convinti sostenitori della teoria Corpulscolare della luce; all'inizio del XIX secolo invece riceverà il suo meritatissimo riconoscimento, con conseguenze davvero straordinarie!   ▲  

Una piscina computerizzata!

La mia piscina virtuale è costituita da molti elementi disposti a scacchiera: immaginate ogni elemento disposto al di sopra di una diversa casella di un foglio a quadretti. Ogni elemento si può muovere liberamente sulla sua posizione verticale:

Ogni elemento è legato a quelli adiacenti da elastici, per cui il movimento verticale di un elemento genera forze che agiscono su quelli che gli si trovano accanto:
Qui sopra gli elementi blu vengono tenuti fermi, mentre quelli verdi vengono trascinati da quello rosso.

Per ogni ciclo di calcolo, tenendo conto delle altezze e velocità di tutti gli elementi, il computer:

— calcola le forze che agiscono su ciascun elemento a causa dalle differenze di altezza rispetto a quelli adiacenti, e di conseguenza calcola un valore di accelerazione per quell'elemento;

— modifica la velocità di ciascun elemento in base all'accelerazione calcolata;

— modifica l'altezza di ogni elemento in base alla sua velocità.

Il fatto che ogni elemento sia dotato di massa fa sì che esso non possa modificare la propria posizione istantaneamente rispetto alla forza applicata (principio d'inerzia). Questo ritardo risulta evidente quando gli elementi diventano molti:



Nelle simulazioni ho usato "piscine" composte da varie centinaia di elementi per lato... meno male che il lavoro lo fa il computer, che ancora non ha imparato a protestare.

La cosa davvero affascinante è che, con un modello così semplice (di fatto il comportamento di ciascun elemento della piscina è semplicissimo: il programma che lo simula richiede pochissime istruzioni) possa dar luogo a fenomeni tanto complessi!   ▲  

Prossimo capitolo: Cannocchiale e Aberrazione sferica

Ottica: Rifrazione

Sommario:

+ Introduzione
+ Riflessione
– Rifrazione
      Ricerca della legge degli angoli
      Cartesio e Fermat: una celebre controversia
      Il "principio del Minor Tempo"
+ Diffrazione
+ Aberrazione sferica e Cannocchiale
+ Dispersione e telescopio di Newton
+ Etere Luminifero
+ Birifrangenza e Polarizzazione
+ Interferenza
+ L'arcobaleno

Rifrazione

Nell'immagine che segue è fotografato un cucchiaino immerso in un recipiente di vetro contenente acqua. Com'è che invece di un cucchiaino se ne vedono tre?



I pallini rossi indicano: con A la parte del cucchiaino fuori dall'acqua; con B e C due immagini della parte immersa, infine con D un'ulteriore immagine della parte immersa, addirittura capovolta! Domanda: fra B, C e D, quale immagine rappresenta il vero cucchiaino?

In realtà... nessuna delle tre! Vediamo i percorsi ottici della luce che dal cucchiaino raggiungono l'osservatore. Per cominciare a studiare il problema, vediamo cosa succederebbe se il contenitore fosse vuoto:

Il pallino rosso contrassegnato con A rappresenta il cucchiaino mentre, a destra in alto, il punto O rappresenta l'occhio dell'osservatore. La linea punteggiata rossa è un segmento rettilineo che congiunge A con O: in mancanza di acqua nel recipiente, si vedrebbe un'unica immagine, proprio in quella direzione. Adesso versiamo l'acqua nel contenitore:


Di nuovo, Il "vero" cucchiaino è rappresentato dal pallino rosso indicato dalla lettera A, mentre O rappresenta l'occhio dell'osservatore. In presenza di acqua nessun raggio di luce percorre il segmento rettilineo da A ad O; infatti tutte le volte che la luce attraversa una superficie di separazione fra mezzi diversi (in questo caso, aria e acqua) devia la propria traiettoria:

— Primo percorso: la luce si propaga da A verso l'alto; per il fenomeno della rifrazione devia in P raggiungendo l'osservatore secondo la direzione P-O, e questo dà all'osservatore stesso l'impressione che una "copia" dell'oggetto A sia visibile nel (ovvero in direzione del) punto B.

— Secondo percorso: la luce si propaga da A verso destra, devia in Q e raggiunge l'osservatore secondo la direzione Q-O: ecco quindi l'impressione di una seconda copia dell'oggetto A, visibile nella posizione C.

— Terzo percorso: la luce si propaga verso il fondo del contenitore riflettendo in R per poi raggiungere la parete del contenitore in S; a seguito della rifrazione, la luce devia e raggiunge l'osservatore secondo la direzione S-O: ecco la terza copia di A visibile nel punto D. Nota: il fatto che in questo processo ci sia stata una riflessione, giustifica il fatto che, nella fotografia in alto, la copia D del cucchiaino risulti capovolta.

Ricapitolando, il cucchiaino riceve luce dall'ambiente e la riflette in tutte le direzioni. Di tutte le direzioni possibili, quelle che dopo un qualche fenomeno di rifrazione e/o riflessione raggiungono l'occhio dell'osservatore sono ben tre; ma nessuno dei percorsi cucchiaino-occhio è rettilineo!

È ovvio a questo punto che il principio del minimo percorso di Erone non è sempre valido: è corretto per quanto riguarda la propagazione in un mezzo omogeneo e nella riflessione, ma non per quanto riguarda la rifrazione, ovvero il fenomeno che si ha quando la luce attraversa la linea di separazione fra due materiali diversi. Esisterà allora una legge che tenga conto anche di questo nuovo fenomeno?   ▲  

Ricerca della legge degli angoli

La ricerca di una legge matematica in grado di descrivere il fenomeno della rifrazione è andata avanti per molti secoli. Documentata per la prima volta in un testo scritto intorno al 984 dal matematico arabo Ibn Sahl, che la usò per ottenere i profili delle lenti asferiche (in grado cioè di ridurre le aberrazioni geometriche!), in occidente fu scoperta da Thomas Harriot nel 1602, che però non la pubblicò. Finalmente nel 1621 fu trovata ancora una volta da Willebrord Snell (matematico, astronomo e fisico olandese, 1580-1626): oggi è effettivamente nota come "Legge di Snell".

Per ottenere una legge matematica bisogna avere una serie di dati sperimentali: come si fa a ricavarli? Con uno schema come il seguente:


Si proietta sul punto O della superficie dell'acqua un raggio di luce secondo un angolo di incidenza noto. Centrato in O c'è un goniometro (indicato in verde) grazie al quale si legge il punto di arrivo della luce, quindi l'angolo di rifrangenza. In base a dati raccolti in questo modo, tutti gli studiosi citati sopra sono arrivati alla seguente legge matematica:


Detto α l'angolo di incidenza e β l'angolo di rifrangenza, gli angoli non sono uguali (come accade per la riflessione), né proporzionali fra loro. Ciò che rimane costante è il rapporto o proporzione fra i seni degli angoli. Per vederlo in modo più immediato, senza inoltrarci nella trigonometria, si può vedere questa regola in un altro modo: se sopra al livello dell'acqua sistemiamo un altro goniometro (indicato in nero) dello stesso raggio e con lo stesso centro di quello sotto il livello dell'acqua (verde), il rapporto fra le lunghezze c / d, oppure e / f, rimane sempre costante; e questa costante dipende dai due mezzi attraversati dalla luce: in questo caso aria e acqua, ma potrebbe essere olio e vetro... insomma una coppia qualsiasi di materiali trasparenti.   ▲  

Cartesio e Fermat: una celebre controversia

Trovata la formula, rimane la curiosità da sapere il perché di questa legge, ovvero del principio che si trova alla base di questa legge fisica. A questo proposito racconterò un episodio piuttosto interessante di storia della scienza, che vede protagonisti questi tre signori:



— René Descartes (in arte Cartesio, a sinistra): filosofo e matematico francese (1596-1650). Noto per la celeberrima frase "Cogito ergo sum" (penso dunque sono), e per l'invenzione delle "coordinate cartesiane". Molto modestamente avrebbe voluto che i suoi scritti sostituissero quelli di Aristotele nell'insegnamento universitario dell'epoca... e per questo si occupò molto approfonditamente di filosofia, teologia, e tante altre belle cose.

— Pierre de Fermat (1601-1665, al centro). Magistrato di mestiere, matematico per diletto (!): ci ha lasciato un'eredità scientifica di tutto rispetto. Noto soprattutto per il suo Ultimo Teorema, ha dato importantissimi contributi alla "teoria dei numeri", quella che ha portato all'invenzione dell'ingegnoso metodo di crittografia che si usa in internet. Scoprì i principi fondamentali della geometria analitica indipendentemente da Cartesio, arrivando a risultati straordinari, precursori del calcolo differenziale: insomma, un gigante della matematica!

— Marin Mersenne (1588-1648, a destra), teologo, filosofo e matematico francese. Noto ai matematici per i "Numeri di Mersenne" (la "sorgente" dei più grandi numeri primi trovati finora), il suo valore storico è stato di mantenere una fitta corrispondenza con tutti i più importanti studiosi dell'epoca; la pubblicazione del suo carteggio ha richiesto la stampa di ben 16 volumi, che permettono di ricostruire in dettaglio la storia del pensiero scientifico della sua epoca.

La storia inizia con Cartesio che, nella sua opera intitolata "La Dioptrique" (La Diottrica), si pone il problema della rifrazione dandone una spiegazione meccanica assolutamente stravagante, ma che in un certo senso dà risultati corretti, ovvero proprio la legge di Snell.

Cartesio scompone il moto della luce in due componenti, una parallela alla superficie di rifrazione e l'altra perpendicolare (la cosa non solo si può fare da un punto di vista matematico, ma è una pratica comunissima nello studio della fisica). Poi stabilisce due criteri fondamentali, non suffragati da nessuna prova:

— la luce si muove all'interno di ogni materiale a una velocità costante ben determinata, dipendente solo dal materiale stesso (e questo è corretto);

— quando la luce passa da un materiale a un altro, la componente "orizzontale" della sua velocità, cioè quella parallela alla superficie, non cambia; cambia invece, nel senso dell'accelerazione o del rallentamento, solo la velocità della componente verticale.


Il pensiero di Cartesio è il seguente: un raggio di luce procede con velocità V1, che viene scomposta nelle componenti Y1 (verticale) e X (orizzontale). Nell'attraversare la superficie di separazione aria-acqua, la componente orizzontale rimane invariata, mentre quella verticale cambia e diventa Y2. Con un po' di ragionamenti non molto complessi Cartesio arriva proprio alla formula di Snell, in cui il coefficiente di rifrazione n assume il significato di rapporto fra le velocità alle quali si propaga la luce nei due materiali:

sen α     v2
-------- = ---- = n
sen β     v1

in cui α e β sono gli angoli di incidenza e di rifrangenza, v1 e v2 le velocità nell'aria e nell'acqua, n appunto il coefficiente di rifrazione di Snell.

Cartesio inviò questo scritto a Mersenne per ottenere dal re di Francia il "privilegio per la stampa", e questi lo fece pervenire a Fermat. Il quale trova subito da ridire sul fatto delle velocità, e scrive a Mersenne:

... dopo aver attentamente esaminato la proposizione che è alla base della sua Dioptrique e che stabilisce il rapporto di rifrazione, divenni sospettoso sulla sua prova dato che la sua dimostrazione mi appariva come un vero paralogismo [...] poiché egli suppone poi che il moto della luce in aria e nei corpi rarefatti è più difficile, o se voi preferite, più lento del moto nell'acqua e negli altri corpi densi, il che mi sembra offenda il senso comune; infine poiché egli afferma che una delle direzioni o delle determinazioni del moto di una palla sussiste interamente dopo aver incontrato il secondo mezzo...

Relativamente alle velocità, Fermat fa un'osservazione appropriata: guardando i grafici che ho mostrato più sopra, si vede che l'angolo di rifrazione nell'acqua è sempre più "stretto" di quello di incidenza; quindi, a parità di velocità in senso orizzontale, la velocità in senso verticale deve aumentare passando dall'aria all'acqua.

C'è da dire che a me non sembra del tutto inverosimile che qualcuno trovasse logica una velocità di propagazione della luce maggiore nell'acqua che nell'aria... per fare un esempio, è noto che il suono si propaga nell'acqua più velocemente che nell'aria, e nell'acciaio più velocemente ancora! Proprio a questo proposito Cartesio si esprime così:

Smetterete, comunque, di trovarlo un effetto strano, ricordando la natura da me attribuita alla luce, quando dissi che non è altro che un certo moto o un'azione concepita in una materia molto sottile [*], che riempie i pori di tutti gli altri corpi e considerando che, come una palla, perde più del suo moto quando urta contro un corpo morbido che contro uno duro, e che essa rotola meno facilmente su un tavolo ricoperto di tessuto che su uno levigato; così l'azione di questa materia sottile può essere frenata molto più dalle parti d'aria che, essendo come sono soffici e debolmente legate una all'altra, non offrono molta resistenza ad essa, che dalle parti dell'acqua, che offrono più resistenza e ancor più dalle parti d'acqua che da quelle del vetro o cristallo...

[*] (Questa materia "molto sottile" è il famoso "etereo luminifero"... ovvero il mezzo entro il quale si sarebbe dovuta propagare la luce, e la cui esistenza è stata definitivamente confutata solo un paio di secoli dopo gli eventi qui narrati).

Fermat racconterà in seguito che

dopo una lunga corrispondenza e molte discussioni ci separammo come l'accusato ed il testimone, l'uno asserendo e l'altro negando i fatti, sebbene alla fine io abbia ricevuto da lui delle lettere molto gentili.

Naturalmente molte di queste missive passavano per le mani di Mersenne, che le divulgava anche ad altre persone: si crearono opposte tifoserie, con battaglie che, se calavano di intensità, Mersenne provvedeva subito a ravvivare!   ▲  

Il "principio del Minor Tempo"

Dopo la morte di Cartesio, Fermat affronta la rifrazione per proprio conto, cercando di spiegarla con argomenti meno discutibili. Ripensa al principio di "minima distanza" di Erone, e lo sostituisce con il principio del "minor tempo", ovvero:

Il percorso fra due punti preso da un raggio di luce è quello che è attraversato nel minor tempo.

Nota: questo principio non invalida le leggi della propagazione e della riflessione: infatti questi fenomeni accadono sempre nello stesso mezzo, quindi a velocità costante; e se la velocità è costante, il percorso più breve (Erone) è anche il più veloce (Fermat).

Il pensiero di Fermat si può spiegare grazie ad una famosa analogia, attribuita a Richard Feynman:



L'Allegro gitante A è andato al mare, e sta annegando. Il Bagnino B lo vede e deve andare a salvarlo. Ammesso che la sua velocità di corsa sulla spiaggia sia maggiore della sua velocità a nuoto nell'acqua, quale percorso deve fare per impiegare il minor tempo?

Se il Bagnino corresse dritto davanti a sé verso il punto c, si troverebbe a dover fare un lungo percorso a nuoto, quindi questa non è la strategia migliore. Il Bagnino allora potrebbe procedere in linea retta, raggiungendo la riva nel punto g; ma viene il sospetto che il percorso in acqua sia ancora troppo lungo, rallentando le operazioni di salvataggio. Allora potrebbe correre fino al punto d, in modo da rendere minima la durata del percorso in acqua; ma vediamo adesso il punto e: la lunghezza del tratto e-a in acqua è quasi identica al precedente tratto d-a; ma il percorso da fare a piedi b-e è sensibilmente più corto di b-d. Insomma, la domanda è: qual è il punto f che rende minore il tempo di salvataggio?

Con questi dati di partenza, che ricapitolo di seguito:

— la luce si muove all'interno di ogni materiale a una velocità costante ben determinata, dipendente solo dal materiale stesso (esattamente come Cartesio);

— il percorso scelto dalla luce per andare da un punto a un altro sarà sempre quello che impiega il minor tempo;

e grazie ai nuovi metodi di calcolo differenziale che aveva scoperto, Fermat ricava la seguente formula:

sen α     v1
-------- = ---- = n
sen β     v2

in cui di nuovo α e β sono gli angoli di incidenza e di rifrangenza, v1 e v2 le velocità nell'aria e nell'acqua, n il coefficiente di rifrazione di Snell.

Fermat rimane molto stupito dal vedere che la "forma" del proprio risultato è molto simile a quello di Cartesio: l'unica differenza sta nel rapporto fra le velocità nell'aria e nell'acqua, che per Fermat è invertito rispetto a quanto sosteneva Cartesio. (Nota: è proprio grazie a questa formula che il Bagnino potrebbe determinare il punto sul bagnasciuga che gli consentirebbe di portare soccorso all'Allegro Gitante nel minor tempo possibile...).

Fermat trasmise queste nuove scoperte a Mersenne, che naturalmente le divulgò agli altri studiosi con cui era in contatto. Ricordo che Cartesio era già morto... ma le polemiche ripresero, forse ancora più aspre di prima: e questo perché i "tifosi" di Cartesio non capirono (o più probabilmente non vollero accettare) i nuovi, straordinari metodi di calcolo di Fermat!

Alla fine Fermat dimostra di avere ragione a sostenere che la velocità della luce è minore nell'acqua; ma soprattutto fonda la sua legge su un principio molto "bello" da un punto di vista fisico, e sicuramente più "solido" della congettura di Cartesio. Ma come dicevo, nonostante sia Cartesio che Fermat fossero francesi, e nonostante che sia il ragionamento che il risultato di Fermat fossero quelli corretti, per i francesi la legge di rifrazione si chiama legge di Snell-Cartesio... c'est la vie!   ▲  

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