Tetradecagono (approssimato)

Il tetradecagono regolare non può essere inscritto in una circonferenza se non in modo approssimato. Per la sua costruzione si può partire da un Ettagono e bisecare uno degli angoli al centro; ma di fatto si può procedere con un meccanismo più semplice:



Gli angoli α e β sono supplementari, cioè la loro somma è pari a 180° (mezzo angolo giro). Ammesso che l'angolo α sia un settimo di angolo giro, cioè l'angolo al centro di un ettagono, l'angolo β si può calcolare per differenza:

β = 1/2 - 1/7 = 7/14 - 2/14 = 5/14 (frazioni di angolo giro)

Siccome i numeri 5 e 14 sono primi fra loro, per ottenere i vertici del tetradecagono basta riportare ripetutamente l'angolo 5/14 di giro sulla circonferenza. Ecco quindi la costruzione completa:

Esadecagono Regolare

L'angolo al centro di ogni poligono regolare che abbia numero di lati pari si ottiene bisecando l'angolo al centro del poligono con metà lati. In questo caso occorre partire dall'ottagono:



Dati i vertici A ed E dell'ottagono già costruito, si punta il compasso in A con raggio AE e si traccia l'arco EF; con lo stesso raggio si punta il compasso in E e si traccia l'arco AF: si trova il punto d'incrocio F.

I punti A, E, F sono evidentemente i vertici di un triangolo equilatero. Congiungendo i punti F e O si ottengono i due triangoli OEF e OAF che sono evidentemente uguali: hanno due lati che sono lati del triangolo equilatero AEF; altri due lati sono raggi del cerchio dato; e gli angoli in A e E sono uguali fra loro. Allora sono uguali anche le altezze AG ed EF: il punto G è quindi a metà del lato dell'ottagono, mentre il punto H divide in due parti uguali l'argo AHE; i segmenti AH e HE saranno quindi due lati dell'esadecagono.

Con questo procedimento si possono ottenere poligoni regolari con numero di lati sempre doppio (32, 64, 128...); e lo stesso vale per qualsiasi altro poligono (triangolo - esagono - dodecagono; pentagono, decagono...).

Ecco l'animazione del procedimento:

Pentadecagono Regolare

La costruzione del pentadecagono regolare si basa in parte sulla costruzione del pentagono, anche se non è per niente scontato che possa essere disegnato con riga e compasso: infatti è richiesta la divisione dell'angolo al centro del pentagono in tre parti; e in generale la trisezione degli angoli non è una delle operazioni possibili con con gli strumenti della geometria classica.

Per fortuna l'angolo al centro del pentadecagono è di 24 gradi (24 x 15 = 360), e può essere facilmente ottenuto per differenza degli angoli dell'esagono e del decagono (60 - 36 = 24). Euclide, nei suoi "Elementi", fa un calcolo diverso: prende un angolo piano (180°) al quale sottrae 60° (angolo al centro dell'esagono) e 72° (angolo al centro del pentagono); ciò che rimane sono 180 - 60 - 72 =48°, di cui fa la bisezione per ottenere l'angolo di 24°. Qui di seguito invece mostro il sistema che a me sembra più semplice:



Si trova il punto medio L del raggio OB. Si traccia il segmento CL sul quale, puntando il compasso in L e con raggio LO (mezzo raggio), si trova il punto M. Il segmento CM è il lato del decagono, che riportiamo sulla circonferenza in E, quindi l'angolo CÔE è di 36°.

Puntando il compasso in C si riporta la lunghezza del raggio sulla circonferenza in F, quindi l'angolo CÔF è di 60°. La differenza fra i due angoli è 24°, cioè proprio l'angolo al centro di ciascun lato del pentadecagono.

Ecco l'animazione del procedimento:

Tridecagono (approssimato)

Un tridecagono regolare è impossibile da costruire con l'uso di soli riga e compasso. La costruzione che segue fornisce un errore intorno al mezzo centesimo di grado:



Con apertura pari al raggio del cerchio, puntando in D si traccia l'arco OE, e in C l'arco FOG. Si congiungono i punti FG determinando il punto M nell'intersezione con il raggio OC. Puntando in M, con apertura pari al semiraggio MO, si traccia l'arco IOH; si tracciano poi i raggi OK (passante per I) e OJ (passante per H).

Si uniscono, prolungandoli fino al punto di intersezione L, i segmenti EF e KJ; infine si tracciano il segmento LA, che interseca la circonferenza in T, e il raggio OT: l'angolo TÔB equivale a (circa) cinque volte l'angolo al centro del tridecagono.

Infatti ammettendo che il cerchio sia centrato nell'origine, e abbia raggio unitario, abbiamo le seguenti lunghezze:

— LQ = ½ √2
— LP = QO = ½ √3
— QA = QO + OA = ½ √3 + 1

— LÂQ = atan( ( ½ √2 ) / ( ½ √3 + 1 ) ≈ 20,75357°
— TÔB = 2 LÂQ ≈ 41,50714°
— TÔA = 180° - TÔB ≈ 138,49286°

— TÔA /   5 ≈ 27,69857°
— 360° / 13 ≈ 27,69231°
                      -------------
                      0,00626°

Ecco l'animazione completa del procedimento:

Dodecagono Regolare

la costruzione del Dodecagono regolare, inscritto in una circonferenza, si basa sullo stesso principio del triangolo e dell'esagono.



Gli archi FOH e EOG consentono di disegnare i triangoli equilateri intercalati COF e AOE. Dato che l'angolo retto ha 90°, risulta evidente che con questi archi si divide l'angolo retto in tre parti uguali, da 30° ciascuna; facendo lo stesso negli altri tre quadranti si ottengono i 12 angoli al centro necessari per disegnare il dodecagono.

Ecco l'animazione del procedimento:

Decagono Regolare

Il procedimento inizia analogamente a quello del pentagono: si trova il punto medio L del raggio OB. Si traccia il segmento CL sul quale, puntando il compasso in L e con raggio LO (mezzo raggio), si trova il punto M. Il segmento CM è il lato del decagono: basta riportarlo sulla circonferenza il numero di volte necessario.

Ecco l'animazione del procedimento:

Ennagono (approssimato)

Un ennagono regolare è impossibile da costruire con l'uso di soli riga e compasso. A differenza dei metodi approssimati che si vedono di solito, ecco qui la costruzione dell'angolo di 20° (metà dell'angolo al centro di un ennagono, dato che 360 : 9 = 40) con un errore inferiore al millesimo di grado.



Con apertura pari al raggio OB della circonferenza, puntando il compasso in B si traccia l'arco OG, e puntandolo in C l'arco EOFG. Unendo i punti E ed F si trovano i punti K ed M. Sempre con apertura pari al raggio della circonferenza, puntando il compasso in B si traccia l'arco OG. Congiungendo O con G si trova il punto I sulla circonferenza; con apertura BI e puntando il compasso in B si traccia l'arco IH trovando il punto H. L'intersezione dei segmenti EM e IH dà il punto J.

La linea LP è parallela al diametro orizzontale, dal quale si trova alla distanza di un raggio e mezzo. Per determinarla si tracciano due archi di cerchio con apertura pari a mezzo raggio CK e puntando in C e G: si trovano rispettivamente i punti L ed N. Si uniscono i punti O e J e si prolunga il segmento fino a trovare il punto P; infine si uniscono i punti P e B trovando Q, e O con Q: l'angolo QÔB è di 20° con un errore inferiore al millesimo di grado.

L'angolo trovato è metà dell'angolo al centro dell'ennagono, proprio l'angolo necessario per completare la costruzione (vedi animazione qui sotto).

Ammettendo che il cerchio abbia raggio unitario e il suo centro sia alle coordinate 0, 0 (origine del piano cartesiano), il punto J si trova alle coordinate √2 / 2, 1/2. Per costruzione geometrica il segmento JQ è 2/3 del raggio OB, quindi le coordinate del punto Q sono √2 / 2 + 2/3, 1/2. A questo punto si può determinare l'angolo QÔB per via trigonometrica:

QÔB = atan( 1/2 / ( √2 / 2 + 2/3 ) ) = 19,99953°

Ecco l'animazione del procedimento:

Ottagono Regolare

In questa costruzione si vede come si tracciano i diametri a 45°, ovvero i diametri che bisecano gli angoli retti formati dai diametri AB e CD (perpendicolare ad AB) del cerchio dato. L'ottagono si costruisce semplicemente unendo gli otto punti sulla circonferenza.



Tutti i triangoli con vertice in O sono evidentemente uguali fra loro, in quanto hanno entrambi due lati uguali al raggio della circonferenza, e l'angolo compreso è sempre di 45°; quindi anche i lati sulla circonferenza (indicati in rosso) sono uguali fra loro.

Ecco l'animazione del procedimento:

Pentagono Regolare

Puntando il compasso in B, con apertura pari al raggio OB della circonferenza si traccia l'arco JOK; congiungendo JK si determina il punto L, che coincide con il punto di mezzo del raggio OB. Puntando il compasso in L, con apertura LC si traccia l'arco MCN.



La linea CM coincide con la lunghezza del lato del pentagono, quindi tracciando l'arco HME con centro in C e apertura CM si trovano due i vertici H ed E del pentagono. La linea CN invece coincide con la lunghezza della diagonale del pentagono (vedi per esempio la diagonale CF): sempre puntando in C, e con apertura CN, si traccia l'arco NFG; i punti G ed F sono gli altri vertici del pentagono.

Ecco l'animazione del procedimento:

Esagono Regolare

In questa costruzione abbiamo visto come inscrivere un triangolo equilatero in una circonferenza. Per costruire l'esagono basta tracciare anche l'arco GOH puntando il compasso in C con apertura CO. In questo modo si ottengono sei triangoli equilateri uguali fra loro; i lati di questi triangoli che non toccano il centro O della circonferenza costituiscono l'esagono regolare inscritto nella circonferenza data.



Ecco l'animazione del procedimento:

Quadrato (2)

Ecco uno dei tanti sistemi per costruire un quadrato inscritto in una circonferenza con i lati paralleli e perpendicolari al diametro AB. In questa costruzione abbiamo visto come si traccia un diametro perpendicolare al diametro di un cerchio dato: ammettiamo quindi di avere già tracciato i punti A, B, C, D e O.



Puntando il compasso in B, con raggio BO si traccia l'arco POQ. Congiungendo i punti di intersezione P e Q di questo arco con il cerchio dato, troviamo il punto N, mediano del raggio OB. Puntando in N, con raggio ON tracciamo l'arco LOM: i segmenti ON e LN, così come ON e NM, sono coppie di lati di due quadrati (infatti tutti questi segmenti hanno lunghezza pari a metà del raggio del cerchio dato, e gli angoli in N sono retti). Congiungendo (e prolungando) i punti O e L, e O e M, otteniamo le rette HF e EG passanti per il centro del cerchio dato ed inclinati di 45° rispetto al diametro AB. I punti E, F, g, e H sono quindi i vertici del quadrato cercato.

Ecco l'animazione del procedimento:

Quadrato (1)

In questa costruzione abbiamo visto come si traccia un diametro perpendicolare al diametro di un cerchio dato: per disegnare un quadrato inscritto nel cerchio basta congiungere le intersezioni dei diametri con la circonferenza (linee rosse).



Infatti i quattro triangoli che hanno vertice in O sono uguali, in quanto ciascuno di essi ha due lati uguali al raggio del cerchio, e l'angolo compreso è un angolo retto. Quindi anche le linee rosse hanno tutte lunghezza uguale.

Ecco l'animazione del procedimento:

Triangolo Equilatero

Data la circonferenza con centro in O e diametro CD, si punta il compasso in D con raggio OD e si traccia l'arco EOF. Congiungendo i punti E ed F con O e D si ottengono i due triangoli equilateri ODE e ODF (tutti i lati hanno lunghezza pari al raggio del cerchio dato). Allora l'angolo EÔD vale 60°, e per differenza EÔC ne vale 120. Analogamente vale 120° l'angolo FÔC. I punti E, E ed F dividono la circonferenza i tre archi uguali, e sono quindi i punti sui quali si costruisce il triangolo equilatero.

Ecco l'animazione completa del procedimento:

Ettagono (approssimato)

L'ettagono regolare non può essere inscritto in una circonferenza se non in modo approssimato. Questa semplice costruzione dà un errore di circa un decimo di grado sull'angolo al centro CÔH.



Partendo da un esagono regolare già costruito, si congiungono i punti CE e GO. Il segmento CF è l'altezza di uno dei triangoli equilateri che costituiscono l'esagono: quest'altezza è una buona approssimazione del lato dell'ettagono, che quindi basta riportare sulla circonferenza in H.

Ammettendo che la circonferenza abbia raggio unitario, il segmento CF = CH è lungo √3 / 2, infatti è l'altezza del triangolo equilatero di lato unitario. L'angolo al centro CÔH può quindi essere trovato per via trigonometrica:

CÔH = 2 asin( √3 / 4 ) = 51,3178°

mentre l'angolo teorico sarebbe

360 / 7 = 51,4286

Ecco l'animazione completa del procedimento: