Teorema delle Corde

Sommario:
Euclide, Elementi, Libro II, Proposizione 5
Euclide, Elementi, Libro III, Proposizione 35
Corollario

Se in un cerchio due corde si intersecano fra loro, allora il rettangolo con lati congruenti alle due parti di una corda ha la stessa area del rettangolo con lati congruenti alle due parti dell'altra. Questo teorema compare negli Elementi di Euclide, più precisamente è la Proposizione 35 del Libro III.

Per dimostrare il teorema delle corde, Euclide si basa su un'altra proposizione contenuta negli Elementi:

Proposizione 5 del Libro II        TOP ▲

Se si divide una retta in parti uguali e disuguali, il rettangolo compreso dalle parti disuguali della retta, insieme con il quadrato della parte compresa fra i punti di divisione, è uguale al quadrato della metà della retta.

In altre parole, il teorema afferma che, dato un segmento AB, tagliato in un punto arbitrario D e il cui punto medio è C, si ha

AD ּ DB + CD² = CB²

Per la dimostrazione, si costruiscano il rettangolo ADGE di lati congruenti ad AD e DB (a sinistra nell'immagine) ed il quadrato CBKH sul segmento CB (a destra). Osservando i due disegni, è facile vedere che i rettangoli ACFE e DBKJ (colorati in rosso) sono congruenti. Il rettangolo CDGF (in verde) è in comune: per completare il quadrato CBKH manca il quadrato FGJH (in blu), chiaramente congruente al quadrato costruito sul segmento compreso fra i punti di divisione C e D.


Proposizione 35 del Libro III        TOP ▲

Se in un cerchio due corde si tagliano fra loro, il rettangolo compreso dalle parti dell'una è uguale al rettangolo compreso dalle parti dell'altra.

In altre parole, se AB ed EF sono due corde di un cerchio incidenti in un punto D, la proposizione afferma che

AD ּ DB = ED ּ DF

Per la dimostrazione, inizialmente si prendano in esame la sola corda AB e si costruisca il rettangolo con lati congruenti a DB e DA = DA'.



Si traccino inoltre le seguenti linee:

— congiungente fra il centro C del cerchio e l'estremo A della corda,
— congiungente fra il centro C del cerchio e il punto D di intersezione delle corde,
— la perpendicolare dal centro C sulla corda AB, che la interseca nel punto G.

Ora, quando in un cerchio un raggio è ortogonale a una corda, la divide per metà (Elementi di Euclide, Libro III Proposizione 3): G quindi è il punto medio della corda AB. Inoltre, si possono ricavare le seguenti relazioni fra i vari segmenti e aree:

— il quadrato costruito sul segmento CA ha area uguale a quella quadrato costruito su CG più quella del quadrato costruito su AG (teorema di Pitagora):

CA² = CG² + AG²

— il quadrato costruito su CG ha area uguale a quella del quadrato costruito su CD meno l'area del quadrato costruito su DG (teorema di Pitagora):

CG² = CD² - DG²

— il quadrato costruito su AG ha area uguale al quadrato costruito su DG più l'area del rettangolo con lati DB e A'D (Elementi di Euclide, Libro II, Proposizione 5)

AG² = DG² + AD ּ DB

Inserendo le ultime due equazioni nella prima si ottiene:

CA² = CG² + AG² = CD² - DG² + DG² + AD ּ DB = CG² + AG² = CD² + AD ּ DB

da cui si ricava:

AD ּ DB = CA² - CD²

ovvero l'area del rettangolo con lati DB e A'D è uguale alla differenza fra il quadrato costruito su CA (il raggio del cerchio) e il quadrato costruito sul segmento CD (distanza fra il centro e il punto d'intersezione delle corde).


Lo stesso procedimento si può ripetere a proposito della corda EF:



ED ּ DF = CA² - CD²

Di conseguenza, i due rettangoli hanno area pari alla differenza della stessa coppia di quadrati, e quindi hanno la stessa area:

AD ּ DB = ED ּ DF


Corollario        TOP ▲

Il calcolo delle aree dei rettangoli che abbiamo visto qui sopra dà un risultato che dipende solo dal raggio del cerchio e dalla posizione del punto di intersezione delle corde. Ciò vuol dire che l'area è indipendente dalla corda scelta: nell'animazione accanto l'area blu conserva sempre la stessa grandezza al variare dell'angolo di rotazione intorno al punto D.

Tetradecagono (approssimato)

Il tetradecagono regolare non può essere inscritto in una circonferenza se non in modo approssimato. Per la sua costruzione si può partire da un Ettagono e bisecare uno degli angoli al centro; ma di fatto si può procedere con un meccanismo più semplice:



Gli angoli α e β sono supplementari, cioè la loro somma è pari a 180° (mezzo angolo giro). Ammesso che l'angolo α sia un settimo di angolo giro, cioè l'angolo al centro di un ettagono, l'angolo β si può calcolare per differenza:

β = 1/2 - 1/7 = 7/14 - 2/14 = 5/14 (frazioni di angolo giro)

Siccome i numeri 5 e 14 sono primi fra loro, per ottenere i vertici del tetradecagono basta riportare ripetutamente l'angolo 5/14 di giro sulla circonferenza. Ecco quindi la costruzione completa:

Esadecagono Regolare

L'angolo al centro di ogni poligono regolare che abbia numero di lati pari si ottiene bisecando l'angolo al centro del poligono con metà lati. In questo caso occorre partire dall'ottagono:



Dati i vertici A ed E dell'ottagono già costruito, si punta il compasso in A con raggio AE e si traccia l'arco EF; con lo stesso raggio si punta il compasso in E e si traccia l'arco AF: si trova il punto d'incrocio F.

I punti A, E, F sono evidentemente i vertici di un triangolo equilatero. Congiungendo i punti F e O si ottengono i due triangoli OEF e OAF che sono evidentemente uguali: hanno due lati che sono lati del triangolo equilatero AEF; altri due lati sono raggi del cerchio dato; e gli angoli in A e E sono uguali fra loro. Allora sono uguali anche le altezze AG ed EF: il punto G è quindi a metà del lato dell'ottagono, mentre il punto H divide in due parti uguali l'argo AHE; i segmenti AH e HE saranno quindi due lati dell'esadecagono.

Con questo procedimento si possono ottenere poligoni regolari con numero di lati sempre doppio (32, 64, 128...); e lo stesso vale per qualsiasi altro poligono (triangolo - esagono - dodecagono; pentagono, decagono...).

Ecco l'animazione del procedimento:

Pentadecagono Regolare

La costruzione del pentadecagono regolare si basa in parte sulla costruzione del pentagono, anche se non è per niente scontato che possa essere disegnato con riga e compasso: infatti è richiesta la divisione dell'angolo al centro del pentagono in tre parti; e in generale la trisezione degli angoli non è una delle operazioni possibili con con gli strumenti della geometria classica.

Per fortuna l'angolo al centro del pentadecagono è di 24 gradi (24 x 15 = 360), e può essere facilmente ottenuto per differenza degli angoli dell'esagono e del decagono (60 - 36 = 24). Euclide, nei suoi "Elementi", fa un calcolo diverso: prende un angolo piano (180°) al quale sottrae 60° (angolo al centro dell'esagono) e 72° (angolo al centro del pentagono); ciò che rimane sono 180 - 60 - 72 =48°, di cui fa la bisezione per ottenere l'angolo di 24°. Qui di seguito invece mostro il sistema che a me sembra più semplice:



Si trova il punto medio L del raggio OB. Si traccia il segmento CL sul quale, puntando il compasso in L e con raggio LO (mezzo raggio), si trova il punto M. Il segmento CM è il lato del decagono, che riportiamo sulla circonferenza in E, quindi l'angolo CÔE è di 36°.

Puntando il compasso in C si riporta la lunghezza del raggio sulla circonferenza in F, quindi l'angolo CÔF è di 60°. La differenza fra i due angoli è 24°, cioè proprio l'angolo al centro di ciascun lato del pentadecagono.

Ecco l'animazione del procedimento:

Tridecagono (approssimato)

Un tridecagono regolare è impossibile da costruire con l'uso di soli riga e compasso. La costruzione che segue fornisce un errore intorno al mezzo centesimo di grado:



Con apertura pari al raggio del cerchio, puntando in D si traccia l'arco OE, e in C l'arco FOG. Si congiungono i punti FG determinando il punto M nell'intersezione con il raggio OC. Puntando in M, con apertura pari al semiraggio MO, si traccia l'arco IOH; si tracciano poi i raggi OK (passante per I) e OJ (passante per H).

Si uniscono, prolungandoli fino al punto di intersezione L, i segmenti EF e KJ; infine si tracciano il segmento LA, che interseca la circonferenza in T, e il raggio OT: l'angolo TÔB equivale a (circa) cinque volte l'angolo al centro del tridecagono.

Infatti ammettendo che il cerchio sia centrato nell'origine, e abbia raggio unitario, abbiamo le seguenti lunghezze:

— LQ = ½ √2
— LP = QO = ½ √3
— QA = QO + OA = ½ √3 + 1

— LÂQ = atan( ( ½ √2 ) / ( ½ √3 + 1 ) ≈ 20,75357°
— TÔB = 2 LÂQ ≈ 41,50714°
— TÔA = 180° - TÔB ≈ 138,49286°

— TÔA /   5 ≈ 27,69857°
— 360° / 13 ≈ 27,69231°
                      -------------
                      0,00626°

Ecco l'animazione completa del procedimento:

Dodecagono Regolare

la costruzione del Dodecagono regolare, inscritto in una circonferenza, si basa sullo stesso principio del triangolo e dell'esagono.



Gli archi FOH e EOG consentono di disegnare i triangoli equilateri intercalati COF e AOE. Dato che l'angolo retto ha 90°, risulta evidente che con questi archi si divide l'angolo retto in tre parti uguali, da 30° ciascuna; facendo lo stesso negli altri tre quadranti si ottengono i 12 angoli al centro necessari per disegnare il dodecagono.

Ecco l'animazione del procedimento:

Endecagono (approssimato)

Un endecagono regolare è impossibile da costruire con l'uso di soli riga e compasso. La costruzione che segue fornisce un errore minore di un centesimo di grado:



Puntando il compasso in C con apertura pari al raggio AO si traccia l'arco EOF, poi si uniscono i punti EF in modo da terminare G sul raggio AO. Puntando prima in E e poi in G, con apertura pari al segmento EG, si disegnano gli archi HGI e HEI, che si incontrano in H e I. Unendo H con I si trova l'intersezione J con il segmento EF; unendo infine i punto O e G, e prolungando in K, si ottiene l'angolo KÔB che è un'ottima approssimazione di quattro volte l'angolo al centro dell'endecagono. Infatti, ammettendo che il raggio abbia lunghezza unitaria, si ha:

— JL = 1 / 2
— EG = √3 / 2
— JG = √3 / 4

— JÔG = atan( JG / JL ) = atan( √3 / 2 ) ≈ 40,8934°
— JÔB = 4α = JÔG + 90° ≈ 130,8934°

— α = JÔB / 4 ≈ 32.7233°
— 360° / 11     ≈ 32.7272°
                         -------------
                          0,0039°

Ecco l'animazione completa del procedimento:

Decagono Regolare

Il procedimento inizia analogamente a quello del pentagono: si trova il punto medio L del raggio OB. Si traccia il segmento CL sul quale, puntando il compasso in L e con raggio LO (mezzo raggio), si trova il punto M. Il segmento CM è il lato del decagono: basta riportarlo sulla circonferenza il numero di volte necessario.

Ecco l'animazione del procedimento:

Pentagono, Esagono e Decagono

Nel libro XIII dei suoi Elementi, Euclide dimostra la seguente proposizione:

Se si iscrive in un cerchio un pentagono equilatero, il quadrato del lato del pentagono è uguale alla somma dei quadrati dei lati dell'esagono e del decagono regolari che siano inscritti nello stesso cerchio.



Di questa proposizione Euclide dà una lunga spiegazione geometrica, ma qui mi limito a una verifica ottenibile conoscendo la lunghezza dei lati e applicando il Teorema di Pitagora. Ammesso che il cerchio in cui si inscrivono i poligoni abbia raggio unitario, le formule che esprimono le lunghezze del lato L5 del Pentagono, L6 dell'Esagono e L10 del Decagono, sono le seguenti:



Allora:



Quindi dato che la somma dei quadrati dei lati dell'esagono e del decagono dà il quadrato del lato del pentagono, ne consegue che il lato del pentagono è ipotenusa di un triangolo rettangolo i cui cateti sono i lati dell'esagono e del decagono.

Ennagono (approssimato)

Un ennagono regolare è impossibile da costruire con l'uso di soli riga e compasso. A differenza dei metodi approssimati che si vedono di solito, ecco qui la costruzione dell'angolo di 20° (metà dell'angolo al centro di un ennagono, dato che 360 : 9 = 40) con un errore inferiore al millesimo di grado.



Con apertura pari al raggio OB della circonferenza, puntando il compasso in B si traccia l'arco OG, e puntandolo in C l'arco EOFG. Unendo i punti E ed F si trovano i punti K ed M. Sempre con apertura pari al raggio della circonferenza, puntando il compasso in B si traccia l'arco OG. Congiungendo O con G si trova il punto I sulla circonferenza; con apertura BI e puntando il compasso in B si traccia l'arco IH trovando il punto H. L'intersezione dei segmenti EM e IH dà il punto J.

La linea LP è parallela al diametro orizzontale, dal quale si trova alla distanza di un raggio e mezzo. Per determinarla si tracciano due archi di cerchio con apertura pari a mezzo raggio CK e puntando in C e G: si trovano rispettivamente i punti L ed N. Si uniscono i punti O e J e si prolunga il segmento fino a trovare il punto P; infine si uniscono i punti P e B trovando Q, e O con Q: l'angolo QÔB è di 20° con un errore inferiore al millesimo di grado.

L'angolo trovato è metà dell'angolo al centro dell'ennagono, proprio l'angolo necessario per completare la costruzione (vedi animazione qui sotto).

Ammettendo che il cerchio abbia raggio unitario e il suo centro sia alle coordinate 0, 0 (origine del piano cartesiano), il punto J si trova alle coordinate √2 / 2, 1/2. Per costruzione geometrica il segmento JQ è 2/3 del raggio OB, quindi le coordinate del punto Q sono √2 / 2 + 2/3, 1/2. A questo punto si può determinare l'angolo QÔB per via trigonometrica:

QÔB = atan( 1/2 / ( √2 / 2 + 2/3 ) ) = 19,99953°

Ecco l'animazione del procedimento:

Ottagono Regolare

In questa costruzione si vede come si tracciano i diametri a 45°, ovvero i diametri che bisecano gli angoli retti formati dai diametri AB e CD (perpendicolare ad AB) del cerchio dato. L'ottagono si costruisce semplicemente unendo gli otto punti sulla circonferenza.



Tutti i triangoli con vertice in O sono evidentemente uguali fra loro, in quanto hanno entrambi due lati uguali al raggio della circonferenza, e l'angolo compreso è sempre di 45°; quindi anche i lati sulla circonferenza (indicati in rosso) sono uguali fra loro.

Ecco l'animazione del procedimento:

Pentagono Regolare

Puntando il compasso in B, con apertura pari al raggio OB della circonferenza si traccia l'arco JOK; congiungendo JK si determina il punto L, che coincide con il punto di mezzo del raggio OB. Puntando il compasso in L, con apertura LC si traccia l'arco MCN.



La linea CM coincide con la lunghezza del lato del pentagono, quindi tracciando l'arco HME con centro in C e apertura CM si trovano due i vertici H ed E del pentagono. La linea CN invece coincide con la lunghezza della diagonale del pentagono (vedi per esempio la diagonale CF): sempre puntando in C, e con apertura CN, si traccia l'arco NFG; i punti G ed F sono gli altri vertici del pentagono.

Ecco l'animazione del procedimento:

Esagono Regolare

In questa costruzione abbiamo visto come inscrivere un triangolo equilatero in una circonferenza. Per costruire l'esagono basta tracciare anche l'arco GOH puntando il compasso in C con apertura CO. In questo modo si ottengono sei triangoli equilateri uguali fra loro; i lati di questi triangoli che non toccano il centro O della circonferenza costituiscono l'esagono regolare inscritto nella circonferenza data.



Ecco l'animazione del procedimento:

Quadrato (2)

Ecco uno dei tanti sistemi per costruire un quadrato inscritto in una circonferenza con i lati paralleli e perpendicolari al diametro AB. In questa costruzione abbiamo visto come si traccia un diametro perpendicolare al diametro di un cerchio dato: ammettiamo quindi di avere già tracciato i punti A, B, C, D e O.



Puntando il compasso in B, con raggio BO si traccia l'arco POQ. Congiungendo i punti di intersezione P e Q di questo arco con il cerchio dato, troviamo il punto N, mediano del raggio OB. Puntando in N, con raggio ON tracciamo l'arco LOM: i segmenti ON e LN, così come ON e NM, sono coppie di lati di due quadrati (infatti tutti questi segmenti hanno lunghezza pari a metà del raggio del cerchio dato, e gli angoli in N sono retti). Congiungendo (e prolungando) i punti O e L, e O e M, otteniamo le rette HF e EG passanti per il centro del cerchio dato ed inclinati di 45° rispetto al diametro AB. I punti E, F, g, e H sono quindi i vertici del quadrato cercato.

Ecco l'animazione del procedimento:

Quadrato (1)

In questa costruzione abbiamo visto come si traccia un diametro perpendicolare al diametro di un cerchio dato: per disegnare un quadrato inscritto nel cerchio basta congiungere le intersezioni dei diametri con la circonferenza (linee rosse).



Infatti i quattro triangoli che hanno vertice in O sono uguali, in quanto ciascuno di essi ha due lati uguali al raggio del cerchio, e l'angolo compreso è un angolo retto. Quindi anche le linee rosse hanno tutte lunghezza uguale.

Ecco l'animazione del procedimento:

Diametro perpendicolare

Problema: Dato un cerchio avente il centro sulla retta AB, tracciare la retta perpendicolare alla retta AB e passante per il centro del cerchio dato. Nota: Per questa costruzione non occorre conoscere a priori il centro O del cerchio.



Sia dato il cerchio con diametro AB. Puntando il compasso in A, tracciare un arco di raggio AB; e puntando in B, un arco dello stesso raggio: i due archi si incontrano nei punti C e D. Congiungendo i punti CD, si determina il punto O: tale punto è il centro del cerchio dato, e il segmento CD è perpendicolare al diametro AB.

Infatti congiungendo i punti AC, AD, BCe BD (linee viola) è ovvio che assieme al diametro AB otteniamo due triangoli equilateri, in quanto ogni segmento è uguale al diametro del cerchio dato. Ma sono anche uguali i quattro triangoli che hanno un vertice in O: prendiamo in considerazione i triangoli di sinistra, ACO e ADO; i lati AC e AD sono uguali; il lato AO è in comune, e gli angoli in A sono entrambi di 60° in quanto vertici di triangoli equilateri. Lo stesso discorso vale per tutte le altre coppie di triangoli adiacenti.

Ora, se questi quattro triangoli sono uguali fra loro, sono uguali anche i segmenti AO e OB. Quindi il punto O, che è sul diametro del cerchio dato, ed è equidistante dalle intersezioni del cerchio con il diametro, è il centro del cerchio. Inoltre la retta CD è perpendicolare alla AB, in quanto (X definizione del libro I degli Elementi di Euclide):

"Quando una retta innalzata su un'altra retta forma gli angoli adiacenti uguali fra loro, ciascuno dei due angoli uguali è retto, e la retta innalzata si chiama perpendicolare a quella su cui è innalzata."

Ecco l'animazione del procedimento:

Triangolo Equilatero

Data la circonferenza con centro in O e diametro CD, si punta il compasso in D con raggio OD e si traccia l'arco EOF. Congiungendo i punti E ed F con O e D si ottengono i due triangoli equilateri ODE e ODF (tutti i lati hanno lunghezza pari al raggio del cerchio dato). Allora l'angolo EÔD vale 60°, e per differenza EÔC ne vale 120. Analogamente vale 120° l'angolo FÔC. I punti E, E ed F dividono la circonferenza i tre archi uguali, e sono quindi i punti sui quali si costruisce il triangolo equilatero.

Ecco l'animazione completa del procedimento:

Ettagono (approssimato)

L'ettagono regolare non può essere inscritto in una circonferenza se non in modo approssimato. Questa semplice costruzione dà un errore di circa un decimo di grado sull'angolo al centro CÔH.



Partendo da un esagono regolare già costruito, si congiungono i punti CE e GO. Il segmento CF è l'altezza di uno dei triangoli equilateri che costituiscono l'esagono: quest'altezza è una buona approssimazione del lato dell'ettagono, che quindi basta riportare sulla circonferenza in H.

Ammettendo che la circonferenza abbia raggio unitario, il segmento CF = CH è lungo √3 / 2, infatti è l'altezza del triangolo equilatero di lato unitario. L'angolo al centro CÔH può quindi essere trovato per via trigonometrica:

CÔH = 2 asin( √3 / 4 ) = 51,3178°

mentre l'angolo teorico sarebbe

360 / 7 = 51,4286

Ecco l'animazione completa del procedimento:

Euclide: il "Secondo" Teorema

Sommario:

+ Gli Elementi di Euclide
+ Euclide: Il "Primo" Teorema
– Euclide: Il "Secondo" Teorema
      Un po' di confusione?
      Elementi, Libro VI, Proposizione 8
      Geometria vs. Proporzioni

Un po' di confusione?

Così come già evidenziato a proposito del Primo Teorema, nei suoi Elementi Euclide non enuncia mai esplicitamente ciò che tradizionalmente viene indicato come suo "Secondo Teorema":

In un triangolo rettangolo, il quadrato costruito sull'altezza relativa all'ipotenusa è equivalente al rettangolo che ha per lati le proiezioni dei due cateti sull'ipotenusa".

Questo enunciato è estratto da vari teoremi, come vedremo qui di seguito.   ▲  

Elementi, Libro VI, Proposizione 8

Se in un triangolo rettangolo si conduce la perpendicolare dell'angolo retto sulla base, la stessa perpendicolare divide il triangolo in due triangoli simili e tutto quanto il triangolo e fra loro

Dato il triangolo ABC, rettangolo in B, tracciamo l'altezza BD relativa all'ipotenusa. Questa divide l'ipotenusa stessa in due segmenti che sono la proiezione dei cateti, e divide il triangolo iniziale in due più piccoli ABD e BCD.

Prendiamo in esame il triangolo iniziale ABC e quello di sinistra ABD: sono entrambi rettangoli (rispettivamente in B e in D), e hanno l'angolo α in comune; di conseguenza sono uguali anche gli angoli rimanenti (in C e in B).

Discorso analogo se si prendono in esame il triangolo iniziale ABC e quello di destra BCD: sono entrambi rettangoli (rispettivamente in B e in D), e hanno l'angolo β in comune; di conseguenza sono uguali anche gli angoli rimanenti (in A e in B).

I tre triangoli hanno quindi tutti gli angoli corrispondenti uguali fra loro e dunque, per il primo criterio di similitudine dei triangoli, sono simili fra loro. (Chiaramente Euclide nei suoi Elementi non manca di dimostrare la validità di questo criterio di similitudine).   ▲  

Geometria vs. Proporzioni




L'angolo α è in comune fra il triangolo originale ABC e il triangolo di sinistra ABD, menree l'angolo β è in comune fra il triangolo originale ABC e il triangolo di destra BCD. Tutti e tre i triangoli sono rettangoli (per definizione quello originale e per costruzione i due più piccoli): allora si può applicare il "primo criterio di similitudine dei triangoli", secondo il quale

Affinché due triangoli siano simili occorre che siano uguali tutti e tre gli angoli (in realtà ne bastano due: il terzo viene di conseguenza, grazie al fatto che la somma degli angoli interni di qualsiasi triangolo è sempre 180°). Quindi vediamo: i tre triangoli sono rettangoli (quello originale in B, gli altri in D); l'angolo α è in comune fra il triangolo originale e il triangolo di sinistra; l'angolo β è in comune fra il triangolo originale e il triangolo di destra: tutti e tre i triangoli hanno quindi gli angoli uguali.

In due triangoli simili, il rapporto fra i lati corrispondenti è costante. Si può scrivere in forma di proporzione:

AD : DB = DB : DC

oppure in forma di frazioni:

AD    DB
---- = ----
DB    DC

Moltiplicando a destra e sinistra sia per DB che per DC

AD x DB x DC    DB x DB x DC
--------------------- = ---------------------
        DB                   DC

ed eliminando i termini che compaiono sia al numeratore che al denominatore otteniamo:

AD x DC = DB x DB

Quindi:

AD x DC = DB²

Ecco che il quadrato costruito sull'altezza DB del triangolo (quindi DB²) è equivalente al rettangolo che ha per lati le proiezioni dei due cateti sull'ipotenusa (AD x DC), come volevasi dimostrare. Le aree uguali sono quelle evidenziate in azzurro nell'immagine iniziale.

Euclide: il "Primo" Teorema

Sommario:

+ Gli Elementi di Euclide
– Euclide: Il "Primo" Teorema
      Un po' di confusione?
      Elementi, Libro I, Proposizione 47
+ Euclide: Il "Secondo" Teorema

Un po' di confusione?

Nel corso di studi delle scuole medie vengono solitamente insegnati il Primo e il Secondo Teorema di Euclide, creando però una certa confusione filologica. In particolare l'enunciato del Primo Teorema ci viene esposto così:

In un triangolo rettangolo il quadrato costruito su un cateto è equivalente al rettangolo avente per dimensioni l'ipotenusa e la proiezione di quel cateto sull'ipotenusa stessa.

Ebbene, questo enunciato negli Elementi di Euclide non esiste, ma la sua dimostrazione è compresa nella proposizione che segue.   ▲  

Elementi, Libro I, Proposizione 47

Nei triangoli rettangoli il quadrato del lato opposto all'angolo retto è uguale alla somma dei quadrati che comprendono l'angolo retto.

Risulta evidente che si tratta dell'enunciato del Teorema di pitagora, ma Euclide non lo affronta occupandosi direttamente dell'intero quadrato costruito sull'ipotenusa; quest'ultimo viene piuttosto diviso in due rettangoli:



Dato il triangolo ABC rettangolo in B, Euclide traccia l'altezza da B sull'ipotenusa AC, trovando il punto J (detto in altre parole, il segmento AJ è la proiezione del cateto AB sull'ipotenusa). In base a questo punto divide il quadrato ACIH nei due rettangoli AJKH e JCIK: secondo il primo teorema di Euclide l'area del quadrato costruito sul cateto AB, e l'area del rettangolo che ha per lati l'ipotenusa e la proiezione del cateto AB sull'ipotenusa (le aree indicate in blu) sono equivalenti.



I triangoli verde e rosso qui sopra sono uguali (congruenti): i lati AE e AB sono uguali in quanto lati di uno stesso quadrato; anche AC e AH sono lati di uno stesso quadrato. Affinché due triangoli siano uguali, oltre a due lati deve essere uguale anche l'angolo compreso: e ciò è senz'altro vero per gli angoli in A dei due triangoli, in quanto sono entrambi pari all'angolo α più un angolo retto.



Vediamo ora l'area del triangolo verde. Se prendiamo come base il lato AE, l'altezza è la proiezione di C sul prolungamento di AE, quindi risulta essere CL. Ma CL è uguale ad AB (lati opposti di un rettangolo): base e altezza del triangolo coincidono con i lati del quadrato costruito su AB, quindi l'area di questo triangolo è metà dell'area del quadrato stesso.

Per quanto riguarda l'area del triangolo rosso, se prendiamo AH come base, l'altezza è la proiezione di B sul prolungamento di AH, quindi risulta essere BM. Dato che BM è uguale ad AJ (lati opposti di un rettangolo), il triangolo ha per base e altezza i lati del rettangolo AJKH, quindi il triangolo rosso ha area metà del rettangolo stesso.

Ricapitolando: il triangolo verde ha area metà del quadrato costruito sul cateto AB; il triangolo rosso ha area metà del rettangolo che ha per lati l'ipotenusa e la proiezione del cateto AB sull'ipotenusa stessa; ma i due triangoli sono uguali, quindi le aree del quadrato e del rettangolo sono anch'esse uguali: ecco dimostrato il cosiddetto "Primo Teorema di Euclide".



Per completare la dimostrazione del Teorema di Pitagora basta replicare il discorso per il cateto BC, il quadrato costruito su di esso e il rettangolo JCIK. Ciascuno dei quadrati costruiti sui cateti ha area uguale ai due rettangoli in cui è stato diviso il quadrato costruito sull'ipotenusa, quindi la somma dei quadrati costruiti sui cateti è equivalente al quadrato costruito sull'ipotenusa.   ▲